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Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ? | MetMat

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Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?

En vérifiant l'injectivité par $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$

L'objectif

Prouver qu'une application $f\colon E\to F$ est injective, c'est-à-dire que deux éléments distincts de $E$ ont des images distinctes.

Le principe

Une application $f\colon E\to F$ est injective si et seulement si $\forall x,y\in E,\ f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$ .

La méthode

1
Je me donne $x,y\in E$ quelconques et je suppose $f(x)=f(y)$ .
2
Je manipule cette égalité (calcul algébrique, utilisation des hypothèses sur $E$ ) pour en déduire $x=y$ .
3
Je conclus que $f$ est injective sur $E$ .

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Application guidée 1

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto 2x+3$ , est injective.

Application guidée 2

Montrer que $g\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^2$ , est injective (alors que $x\mapsto x^2$ ne l'est pas sur $\mathbb{R}$ ).

Application autonome 1

Montrer que $h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto e^x$ , est injective.

Application autonome 2

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^3$ , est injective.

Application autonome 3

Montrer que $f\colon\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto\ln x$ , est injective.

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En vérifiant l'injectivité par f(x)=f(y)⇒x=yf(x)=f(y)\Rightarrow x=yf(x)=f(y)⇒x=y

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En vérifiant l'injectivité par $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$