Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ? | MetMat

Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?

En vérifiant l'injectivité par $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$

Prouver qu'une application $f\colon E\to F$ est injective, c'est-à-dire que deux éléments distincts de $E$ ont des images distinctes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto 2x+3$ , est injective.

L'objectif

Prouver qu'une application $f\colon E\to F$ est injective, c'est-à-dire que deux éléments distincts de $E$ ont des images distinctes.

Le principe

Une application $f\colon E\to F$ est injective si et seulement si $\forall x,y\in E,\;f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$ .

La méthode

1
Je me donne $x,y\in E$ quelconques et je suppose $f(x)=f(y)$ .
2
Je manipule cette égalité (calcul algébrique, utilisation des hypothèses sur $E$ ) pour en déduire $x=y$ .
3
Je conclus que $f$ est injective sur $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto 2x+3$ , est injective.

Étape 1 —

Je me donne

x,y\in E

quelconques et je suppose

f(x)=f(y)

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ tels que $f(x)=f(y)$ , c'est-à-dire $2x+3=2y+3$ .

Étape 2 —

Je manipule cette égalité (calcul algébrique, utilisation des hypothèses sur

E

) pour en déduire

x=y

En soustrayant $3$ puis en divisant par $2$ , j'obtiens $x=y$ .

Étape 3 —

Je conclus que

f

est injective sur

E

Donc $f$ est injective sur $\mathbb{R}$ .

$f\colon x\mapsto 2x+3$ est injective sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que $g\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^2$ , est injective (alors que $x\mapsto x^2$ ne l'est pas sur $\mathbb{R}$ ).

Application autonome 1

Montrer que $h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto e^x$ , est injective.

Application autonome 2

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^3$ , est injective.

Application autonome 3

Montrer que $f\colon\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto\ln x$ , est injective.

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