Comment démontrer une… : En prouvant séparément les deux… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment démontrer une équivalence ?

En prouvant séparément les deux implications directes et réciproques

Démontrer une équivalence $P \iff Q$ en traitant indépendamment les deux sens de l'implication.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que $n$ est pair si et seulement si $n^2$ est pair.

L'objectif

Démontrer une équivalence $P \iff Q$ en traitant indépendamment les deux sens de l'implication.

Le principe

L'équivalence $P \iff Q$ est, par définition, la conjonction de $P \Rightarrow Q$ et de $Q \Rightarrow P$ : il suffit donc de prouver chacune des deux implications.

La méthode

1
Je démontre le sens direct : je suppose $P$ vraie et j'en déduis $Q$ .
2
Je démontre le sens réciproque : je suppose $Q$ vraie et j'en déduis $P$ .
3
Je conclus que les deux implications étant établies, l'équivalence $P \iff Q$ est démontrée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que $n$ est pair si et seulement si $n^2$ est pair.

Étape 1 —

Je démontre le sens direct : je suppose

P

vraie et j'en déduis

Q

Sens direct : si $n$ est pair, $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{Z}$ , donc $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ est pair.

Étape 2 —

Je démontre le sens réciproque : je suppose

Q

vraie et j'en déduis

P

Sens réciproque : si $n^2$ est pair, alors $n$ ne peut pas être impair ; en effet si $n = 2k+1$ alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k)+1$ serait impair. Donc $n$ est pair.

Étape 3 —

Je conclus que les deux implications étant établies, l'équivalence

P \iff Q

est démontrée.

Les deux implications sont prouvées : $n$ est pair $\iff$ $n^2$ est pair.

$\forall n \in \mathbb{Z}, \;n \;\mathrm{pair} \iff n^2 \;\mathrm{pair}$ .

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