En raisonnant par équivalences successives (chaîne de $\iff$ )

L'objectif

Démontrer $P \iff Q$ en construisant une chaîne $P \iff P_1 \iff P_2 \iff \dots \iff Q$ où chaque étape est réversible.

Le principe

Si chaque transformation effectuée est une équivalence (aucune implication simple glissée dans la chaîne), alors par transitivité $P \iff Q$ .

La méthode

1
J'écris la proposition de départ et je vérifie que chaque manipulation que je vais effectuer (ajout d'une constante, multiplication par un réel non nul, passage au carré sous condition de positivité, etc.) est bien une équivalence.
2
Je transforme pas à pas la proposition en enchaînant des $\iff$ justifiés, en explicitant à chaque étape la réversibilité.
3
J'aboutis à la proposition cible $Q$ , ce qui prouve $P \iff Q$ par transitivité.

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Application guidée 1

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Résoudre l'équation $2x + 3 = 7$ par équivalences.

Application guidée 2

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $x^2 - 2x - 3 \leq 0 \iff -1 \leq x \leq 3$ .

Application autonome 1

Soient $a \in \mathbb{R}$ et $b > 0$ . Montrer que $a^2 \leq b \iff -\sqrt{b} \leq a \leq \sqrt{b}$ .

Application autonome 2

Soit $x\in\mathbb{R}$ . Résoudre par équivalences successives l'équation $\dfrac{3x-1}{2}=x+4$ .

Application autonome 3

Soit $x>0$ . Montrer par équivalences que $\sqrt{x+1}\geq 2\iff x\geq 3$ .

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En raisonnant par équivalences successives (chaîne de ⟺ \iff⟺)

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En raisonnant par équivalences successives (chaîne de $\iff$ )