Comment démontrer une équivalence ?

En prouvant séparément les deux implications directes et réciproques

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que $n$ est pair si et seulement si $n^2$ est pair.

La méthode

1
Je démontre le sens direct : je suppose $P$ vraie et j'en déduis $Q$ .
2
Je démontre le sens réciproque : je suppose $Q$ vraie et j'en déduis $P$ .
3
Je conclus que les deux implications étant établies, l'équivalence $P \iff Q$ est démontrée.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que $n$ est pair si et seulement si $n^2$ est pair.

1

Sens direct : si $n$ est pair, $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{Z}$ , donc $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ est pair.

2

Sens réciproque : si $n^2$ est pair, alors $n$ ne peut pas être impair ; en effet si $n = 2k+1$ alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k)+1$ serait impair. Donc $n$ est pair.

3

Les deux implications sont prouvées : $n$ est pair $\iff$ $n^2$ est pair.

$\forall n \in \mathbb{Z}, \;n \;\mathrm{pair} \iff n^2 \;\mathrm{pair}$ .

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