Comment démontrer une… : En raisonnant par l'absurde (supposer le… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment démontrer une proposition par contraposée ou par l'absurde ?

En raisonnant par l'absurde (supposer le contraire et exhiber une contradiction)

Démontrer une proposition $P$ en supposant $\neg P$ et en faisant apparaître une contradiction logique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

L'objectif

Démontrer une proposition $P$ en supposant $\neg P$ et en faisant apparaître une contradiction logique.

Le principe

Si $\neg P$ entraîne une contradiction (proposition toujours fausse, typiquement $A \;\mathrm{et} \;\neg A$ ), alors $\neg P$ est fausse, donc $P$ est vraie.

La méthode

1
Je formule soigneusement la négation de la proposition $P$ à démontrer, et je la pose comme nouvelle hypothèse de travail.
Comment formuler la négation d'une proposition ?Voir
2
Je déroule des déductions à partir de $\neg P$ (en utilisant théorèmes et hypothèses explicitement vérifiées) jusqu'à obtenir une contradiction, c'est-à-dire une proposition fausse.
3
La contradiction prouve que $\neg P$ est fausse, donc $P$ est vraie : je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Étape 1 —

Je formule soigneusement la négation de la proposition

P

à démontrer, et je la pose comme nouvelle hypothèse de travail.

Je suppose par l'absurde que $\sqrt{2}$ est rationnel : il existe $p, q \in \mathbb{Z}$ avec $q \neq 0$ et $\mathrm{pgcd}(p, q) = 1$ , tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ .

Étape 2 —

Je déroule des déductions à partir de

\neg P

(en utilisant théorèmes et hypothèses explicitement vérifiées) jusqu'à obtenir une contradiction, c'est-à-dire une proposition fausse.

En élevant au carré, $2q^2 = p^2$ , donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (résultat connu). J'écris $p = 2k$ : alors $2q^2 = 4k^2$ , soit $q^2 = 2k^2$ , donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair. Ainsi $2$ divise $p$ et $q$ , ce qui contredit $\mathrm{pgcd}(p, q) = 1$ .

Étape 3 —

La contradiction prouve que

\neg P

est fausse, donc

P

est vraie : je conclus.

La contradiction prouve que l'hypothèse « $\sqrt{2}$ rationnel » est fausse, donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.

$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

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