En raisonnant par contraposée (prouver $\neg P \Rightarrow \neg H$ )

Démontrer une implication $H \Rightarrow P$ en établissant à la place sa contraposée $\neg P \Rightarrow \neg H$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer par contraposée que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

L'objectif

Démontrer une implication $H \Rightarrow P$ en établissant à la place sa contraposée $\neg P \Rightarrow \neg H$ .

Le principe

L'implication $H \Rightarrow P$ est logiquement équivalente à sa contraposée $\neg P \Rightarrow \neg H$ : prouver l'une revient à prouver l'autre.

La méthode

1
J'écris précisément la contraposée $\neg P \Rightarrow \neg H$ en niant séparément $P$ et $H$ .
Comment formuler la négation d'une proposition ?Voir
2
Je suppose $\neg P$ vraie et j'en déduis $\neg H$ par un raisonnement direct.
3
Je conclus : la contraposée étant prouvée, l'implication $H \Rightarrow P$ est établie.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer par contraposée que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Étape 1 —

J'écris précisément la contraposée

\neg P \Rightarrow \neg H

en niant séparément

P

H

La contraposée de « $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair » est : « $n$ impair $\Rightarrow$ $n^2$ impair ».

Étape 2 —

Je suppose

\neg P

vraie et j'en déduis

\neg H

par un raisonnement direct.

Je suppose $n$ impair : $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{Z}$ . Alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ , ce qui est impair.

Étape 3 —

Je conclus : la contraposée étant prouvée, l'implication

H \Rightarrow P

est établie.

La contraposée est établie, donc $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair.

$\forall n \in \mathbb{Z}, \;n^2 \;\mathrm{pair} \Rightarrow n \;\mathrm{pair}$ .

Application guidée

Soient $x, y \in \mathbb{R}$ . Montrer par contraposée que si $xy \neq 0$ , alors $x \neq 0$ et $y \neq 0$ .

Application autonome 1

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Montrer par contraposée que si $f(a) \neq f(b)$ , alors $a \neq b$ .

Application autonome 2

Soit $n\in\mathbb{Z}$ . Montrer par contraposée que si $n^2$ est un multiple de $3$ , alors $n$ est un multiple de $3$ .

Application autonome 3

Soit $x\in\mathbb{R}$ . Montrer par contraposée que si $x^3\leq 0$ , alors $x\leq 0$ .

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