Comment appliquer le théorème du rang ?

En appliquant $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ pour déduire l'une des deux dimensions à partir de l'autre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ linéaire telle que $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Vect}((1,-1,1,-1))$ . Calculer $\mathrm{rg}(f)$ .

La méthode

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J'identifie l'application linéaire $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ainsi que la dimension $n$ de l'espace de départ, et je vérifie les hypothèses du théorème du rang (linéarité, espaces de dimension finie).
2
Je calcule la dimension la plus facilement accessible (par exemple $\dim\mathrm{Ker}(f)$ en résolvant $AX=0$ , ou $\mathrm{rg}(f)$ en échelonnant la matrice de $f$ ).
Comment déterminer le noyau d'une matrice ?Voir
3
J'applique la formule $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ pour en déduire la dimension manquante, et je conclus.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ linéaire telle que $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Vect}((1,-1,1,-1))$ . Calculer $\mathrm{rg}(f)$ .

1

$f$ est linéaire de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}^3$ , donc $n=4$ .

2

$\mathrm{Ker}(f)$ est engendré par un seul vecteur non nul, donc $\dim\mathrm{Ker}(f)=1$ .

3

Par le théorème du rang, $\mathrm{rg}(f)=n-\dim\mathrm{Ker}(f)=4-1=3$ .

$\mathrm{rg}(f)=3$ .

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Comment appliquer le théorème du rang ?

En appliquant dim⁡Ker(f)+rg(f)=n\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=ndimKer(f)+rg(f)=n pour déduire l'une des deux dimensions à partir de l'autre

Pour comprendre, passons aux exercices.

En appliquant $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ pour déduire l'une des deux dimensions à partir de l'autre