Comment déterminer les extremums… : En résolvant f'(x)=0 et en analysant un… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment déterminer les extremums locaux d'une fonction dérivable ?

En résolvant $f'(x)=0$ et en analysant un changement de signe de $f'$ en ce point (extremum local si changement de signe)

Trouver les points où $f$ admet un maximum ou un minimum local et déterminer la nature de chaque extremum.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les extremums locaux de $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Trouver les points où $f$ admet un maximum ou un minimum local et déterminer la nature de chaque extremum.

Le principe

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $x_0\in I$ , alors $f'(x_0)=0$ (condition nécessaire) ; réciproquement, si $f'$ change de signe en $x_0$ , $f$ admet un extremum local en $x_0$ (maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$ , minimum si $f'$ passe de $-$ à $+$ ).

La méthode

1
Je calcule $f'$ et je résous l'équation $f'(x)=0$ pour trouver les points critiques sur l'intervalle ouvert d'étude.
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
2
J'étudie le signe de $f'$ au voisinage de chaque point critique pour repérer les changements de signe.
Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée ?Voir
3
Je conclus : un changement de $+$ à $-$ indique un maximum local, de $-$ à $+$ un minimum local ; pas de changement signifie pas d'extremum local en ce point.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer les extremums locaux de $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'

et je résous l'équation

f'(x)=0

pour trouver les points critiques sur l'intervalle ouvert d'étude.

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ , qui s'annule en $x=-1$ et $x=1$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de

f'

au voisinage de chaque point critique pour repérer les changements de signe.

Signe de $f'$ : $+$ sur $]-\infty,-1[$ , $-$ sur $]-1,1[$ , $+$ sur $]1,+\infty[$ . Changement $+\to -$ en $-1$ , changement $-\to +$ en $1$ .

Étape 3 —

Je conclus : un changement de

+

-

indique un maximum local, de

-

+

un minimum local ; pas de changement signifie pas d'extremum local en ce point.

Maximum local $f(-1)=-1+3=2$ en $-1$ , minimum local $f(1)=1-3=-2$ en $1$ .

Maximum local $2$ en $-1$ , minimum local $-2$ en $1$ .

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Comment déterminer les extremums locaux d'une fonction dérivable ?

En résolvant f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 et en analysant un changement de signe de f′f'f′ en ce point (extremum local si changement de signe)

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant $f'(x)=0$ et en analysant un changement de signe de $f'$ en ce point (extremum local si changement de signe)