Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?

En exhibant $B$ telle que $AB=I_n$ (l'inverse à droite est l'inverse, résultat admis)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible en vérifiant que $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ convient.

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée et je propose un candidat $B$ (éventuellement suggéré par l'intuition, une relation polynomiale ou un calcul exploratoire).
2
Je calcule $AB$ et je vérifie explicitement que $AB=I_n$ .
3
Je conclus par le résultat admis : $A$ est inversible et $A^{-1}=B$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible en vérifiant que $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ convient.

1

$A$ est carrée d'ordre $2$ . Je propose $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

2

$AB=\begin{pmatrix} 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot(-1)+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot(-1)+1\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_2$ .

3

Par le résultat admis, $A$ est inversible et $A^{-1}=B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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