Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ? | MetMat

Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?

En utilisant un polynôme annulateur pour factoriser $I_n$

L'objectif

Prouver l'inversibilité et calculer l'inverse d'une matrice carrée à partir d'une relation polynomiale qu'elle satisfait.

Le principe

Si $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est carrée et vérifie une relation de la forme $a_k A^k+\dots+a_1 A+a_0 I_n=0$ avec $a_0\neq 0$ , alors on peut factoriser $I_n=A\cdot\frac{-1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)$ , ce qui donne $A^{-1}=\frac{-1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée puis j'établis (ou j'utilise) une relation polynomiale $a_k A^k+\dots+a_1 A+a_0 I_n=0$ avec $a_0\neq 0$ .
2
J'isole $I_n$ : $I_n=-\frac{1}{a_0}(a_k A^k+\dots+a_1 A)=A\cdot\left(-\frac{1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)\right)$ .
3
Je conclus : $A$ est inversible et $A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(a_k A^{k-1}+\dots+a_1 I_n)$ , puis je vérifie par un calcul direct $A\cdot A^{-1}=I_n$ si utile.

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Application guidée 1

Soit $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2-A-2I_2=0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ .

Application guidée 2

Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Sachant que $A^2=4A-3I_2$ , calculer $A^{-1}$ .

Application autonome 1

Soit $A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3-2A^2+A-I_3=0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ .

Application autonome 2

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2+3A-4I_n=0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et $I_n$ .

Application autonome 3

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3=2I_n$ . Montrer que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$ .

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En utilisant un polynôme annulateur pour factoriser InI_nIn​

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En utilisant un polynôme annulateur pour factoriser $I_n$