Comment montrer qu'une matrice… : En résolvant le système AX=Y pour… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?

En résolvant le système $AX=Y$ pour exprimer $X$ en fonction de $Y$

Déterminer si $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$ en résolvant le système $AX=Y$ en fonction du second membre générique $Y$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible et calculer $A^{-1}$ .

L'objectif

Déterminer si $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$ en résolvant le système $AX=Y$ en fonction du second membre générique $Y$ .

Le principe

Une matrice carrée $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible si et seulement si, pour tout $Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ , le système $AX=Y$ admet une unique solution $X$ ; dans ce cas $X=A^{-1}Y$ et on lit $A^{-1}$ directement sur l'expression des $x_i$ en fonction des $y_j$ .

La méthode

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Je vérifie que $A$ est carrée puis j'écris le système $AX=Y$ avec $Y$ générique, en posant $X=(x_i)$ et $Y=(y_j)$ .
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J'applique le pivot de Gauss pour triangulariser ; si aucun pivot ne s'annule, $A$ est inversible et je résous par remontée pour exprimer chaque $x_i$ comme combinaison linéaire des $y_j$ .
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je lis $A^{-1}$ comme la matrice dont la ligne $i$ donne les coefficients des $y_j$ dans $x_i$ , puis je contrôle que $A\cdot A^{-1}=I_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible et calculer $A^{-1}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est carrée puis j'écris le système

AX=Y

avec

Y

générique, en posant

X=(x_i)

Y=(y_j)

$A$ est carrée d'ordre $2$ . Je pose $Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$ et j'écris $\begin{cases} 3x_1+x_2=y_1 \\ 2x_1+x_2=y_2 \end{cases}$ .

Étape 2 —

J'applique le pivot de Gauss pour triangulariser ; si aucun pivot ne s'annule,

A

est inversible et je résous par remontée pour exprimer chaque

x_i

comme combinaison linéaire des

y_j

$L_1\leftarrow L_1-L_2$ donne $x_1=y_1-y_2$ , puis $x_2=y_2-2x_1=y_2-2(y_1-y_2)=-2y_1+3y_2$ . Les deux pivots sont non nuls : $A$ est inversible.

Étape 3 —

Je lis

A^{-1}

comme la matrice dont la ligne

i

donne les coefficients des

y_j

dans

x_i

, puis je contrôle que

A\cdot A^{-1}=I_n

On lit $A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ ; vérification : $AA^{-1}=\begin{pmatrix} 3-2 & -3+3 \\ 2-2 & -2+3 \end{pmatrix}=I_2$ .

$A$ est inversible et $A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ .

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Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?

En résolvant le système AX=YAX=YAX=Y pour exprimer XXX en fonction de YYY

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système $AX=Y$ pour exprimer $X$ en fonction de $Y$