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Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

En étudiant le rapport un+1/unu_{n+1}/u_n (pour une suite à termes strictement positifs)

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite à termes strictement positifs par comparaison de un+1/unu_{n+1}/u_n à 11.

Le principe

Si ∀n∈N, un>0\forall n\in\mathbb{N},\ u_n>0, alors (un)(u_n) est croissante ssi ∀n, un+1un≥1\forall n,\ \frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1 et décroissante ssi ∀n, un+1un≤1\forall n,\ \frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que ∀n∈N, un>0\forall n\in\mathbb{N},\ u_n>0 (hypothèse indispensable pour que la comparaison à 11 préserve le sens).
  2. 2
    Je calcule le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}, je le simplifie, puis je compare le résultat à 11 en fonction de nn.
  3. 3
    Je conclus : un+1un≥1\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1 pour tout nn donne une suite croissante ; un+1un≤1\frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1 pour tout nn donne une suite décroissante.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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