En étudiant le rapport $u_{n+1}/u_n$ (pour une suite à termes strictement positifs)

Déterminer le sens de variation d'une suite à termes strictement positifs par comparaison de $u_{n+1}/u_n$ à $1$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{2^n}{n!}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite à termes strictement positifs par comparaison de $u_{n+1}/u_n$ à $1$ .

Le principe

Si $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n>0$ , alors $(u_n)$ est croissante ssi $\forall n,\ \frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$ et décroissante ssi $\forall n,\ \frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1$ .

La méthode

1
Je vérifie que $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n>0$ (hypothèse indispensable pour que la comparaison à $1$ préserve le sens).
2
Je calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ , je le simplifie, puis je compare le résultat à $1$ en fonction de $n$ .
3
Je conclus : $\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$ pour tout $n$ donne une suite croissante ; $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1$ pour tout $n$ donne une suite décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{2^n}{n!}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n>0

(hypothèse indispensable pour que la comparaison à

1

préserve le sens).

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $2^n>0$ et $n!>0$ , donc $u_n>0$ ; la méthode du rapport s'applique.

Étape 2 —

Je calcule le rapport

\frac{u_{n+1}}{u_n}

, je le simplifie, puis je compare le résultat à

1

en fonction de

n

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$ . Cette quantité vaut $2\ge 1$ pour $n=0$ , $1$ pour $n=1$ , et $\frac{2}{n+1}<1$ pour $n\ge 2$ .

Étape 3 —

Je conclus :

\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1

pour tout

n

donne une suite croissante ;

\frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1

pour tout

n

donne une suite décroissante.

$(u_n)$ est donc croissante jusqu'à $n=1$ (en fait $u_0=1$ , $u_1=u_2=2$ ) puis strictement décroissante à partir de $n=2$ .

$(u_n)$ est croissante pour $n\in\{0,1\}$ puis strictement décroissante à partir de $n=2$ .

Application guidée

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{3^n}{n+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{n!}{n^n}$ pour $n\ge 1$ . Étudier son sens de variation.

Application autonome 2

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{n!}{5^n}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 3

Étudier la monotonie de $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2^n}{\sqrt{n+1}}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En étudiant le rapport un+1/unu_{n+1}/u_nun+1​/un​ (pour une suite à termes strictement positifs)

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant le rapport $u_{n+1}/u_n$ (pour une suite à termes strictement positifs)