Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?

En utilisant les espérances connues des lois usuelles ( $E(\mathcal{B}(n,p))=np$ , $E(\mathcal{G}(p))=1/p$ , $E(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ , etc.)

L'objectif

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire sans sommation explicite, en reconnaissant sa loi parmi les lois usuelles et en invoquant la formule associée.

Le principe

Les espérances des lois usuelles sont des résultats du cours : $E(\mathcal{B}(p))=p$ , $E(\mathcal{B}(n,p))=np$ , $E(\mathcal{U}([\![a,b]\!]))=\frac{a+b}{2}$ , $E(\mathcal{G}(p))=\frac{1}{p}$ , $E(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ ; on peut aussi combiner avec la linéarité de l'espérance : $E(aX+b)=aE(X)+b$ .

La méthode

1
Je reconnais la loi usuelle suivie par $X$ (Bernoulli, binomiale, uniforme, géométrique, Poisson) et j'en précise les paramètres.
Comment reconnaître une loi usuelle dans une modélisation ?Voir
2
J'invoque la formule de l'espérance associée, donnée par le cours, sans recalcul par sommation.
3
J'applique éventuellement la linéarité $E(aX+b)=aE(X)+b$ si la variable étudiée est une transformation affine de $X$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En utilisant les espérances connues des lois usuelles (E(B(n,p))=npE(\mathcal{B}(n,p))=npE(B(n,p))=np, E(G(p))=1/pE(\mathcal{G}(p))=1/pE(G(p))=1/p, E(P(λ))=λE(\mathcal{P}(\lambda))=\lambdaE(P(λ))=λ, etc.)

Exemple corrigé

En utilisant les espérances connues des lois usuelles ( $E(\mathcal{B}(n,p))=np$ , $E(\mathcal{G}(p))=1/p$ , $E(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ , etc.)