En utilisant les espérances connues des lois usuelles ( $E(\mathcal{B}(n,p))=np$ , $E(\mathcal{G}(p))=1/p$ , $E(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ , etc.)

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire sans sommation explicite, en reconnaissant sa loi parmi les lois usuelles et en invoquant la formule associée.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X\sim\mathcal{B}(20,0{,}3)$ . Calculer $E(X)$ .

L'objectif

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire sans sommation explicite, en reconnaissant sa loi parmi les lois usuelles et en invoquant la formule associée.

Le principe

Les espérances des lois usuelles sont des résultats du cours : $E(\mathcal{B}(p))=p$ , $E(\mathcal{B}(n,p))=np$ , $E(\mathcal{U}([\![a,b]\!]))=\frac{a+b}{2}$ , $E(\mathcal{G}(p))=\frac{1}{p}$ , $E(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ ; on peut aussi combiner avec la linéarité de l'espérance : $E(aX+b)=aE(X)+b$ .

La méthode

1
Je reconnais la loi usuelle suivie par $X$ (Bernoulli, binomiale, uniforme, géométrique, Poisson) et j'en précise les paramètres.
Comment reconnaître une loi usuelle dans une modélisation ?Voir
2
J'invoque la formule de l'espérance associée, donnée par le cours, sans recalcul par sommation.
3
J'applique éventuellement la linéarité $E(aX+b)=aE(X)+b$ si la variable étudiée est une transformation affine de $X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

$X\sim\mathcal{B}(20,0{,}3)$ . Calculer $E(X)$ .

Étape 1 —

Je reconnais la loi usuelle suivie par

X

(Bernoulli, binomiale, uniforme, géométrique, Poisson) et j'en précise les paramètres.

$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}3$ .

Étape 2 —

J'invoque la formule de l'espérance associée, donnée par le cours, sans recalcul par sommation.

Par formule du cours, $E(\mathcal{B}(n,p))=np=20\times 0{,}3$ .

Étape 3 —

J'applique éventuellement la linéarité

E(aX+b)=aE(X)+b

si la variable étudiée est une transformation affine de

X

Donc $E(X)=6$ .

$E(X)=6$ .

Application guidée

$Y\sim\mathcal{P}(4)$ . Calculer $E(3Y+5)$ .

Application autonome 1

$X\sim\mathcal{G}(0{,}25)$ . Calculer $E(X)$ .

Application autonome 2

$X\sim\mathcal{U}([\![1,10]\!])$ . Calculer $E(X)$ et $E(2X-3)$ .

Application autonome 3

Soit $X\sim\mathcal{B}(50, 0{,}1)$ . Calculer $E(5X-4)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant les espérances connues des lois usuelles (E(B(n,p))=npE(\mathcal{B}(n,p))=npE(B(n,p))=np, E(G(p))=1/pE(\mathcal{G}(p))=1/pE(G(p))=1/p, E(P(λ))=λE(\mathcal{P}(\lambda))=\lambdaE(P(λ))=λ, etc.)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les espérances connues des lois usuelles ( $E(\mathcal{B}(n,p))=np$ , $E(\mathcal{G}(p))=1/p$ , $E(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ , etc.)