Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1 $y'+ay=b(t)$ ?

En écrivant la solution générale comme somme de la solution générale de l'équation homogène ( $Ce^{-at}$ ) et d'une solution particulière de l'équation complète

L'objectif

Déterminer explicitement toutes les fonctions $y$ vérifiant $y'+ay=b(t)$ sur un intervalle $I$ .

Le principe

L'ensemble des solutions de $y'+ay=b(t)$ (avec $a\in\mathbb{R}$ constant et $b$ continue sur $I$ ) est la droite affine $y_H+y_P$ , où $y_H(t)=Ce^{-at}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) est la solution générale de l'équation homogène $y'+ay=0$ et $y_P$ est une solution particulière de l'équation complète.

La méthode

1
J'identifie $a$ et $b(t)$ , je vérifie que l'équation est bien linéaire à coefficient constant, puis j'écris la solution générale de l'équation homogène $y_H(t)=Ce^{-at}$ avec $C\in\mathbb{R}$ .
2
Je cherche une solution particulière $y_P$ de forme adaptée au second membre (constante si $b$ est constant, polynôme de même degré si $b$ est polynomial, $\alpha e^{kt}$ si $b(t)=\beta e^{kt}$ avec $k\neq -a$ , $\alpha\cos t+\beta\sin t$ si $b$ est trigonométrique).
3
Je conclus : l'ensemble des solutions est $y(t)=Ce^{-at}+y_P(t)$ , $C\in\mathbb{R}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En écrivant la solution générale comme somme de la solution générale de l'équation homogène (Ce−atCe^{-at}Ce−at) et d'une solution particulière de l'équation complète

Exemple corrigé

En écrivant la solution générale comme somme de la solution générale de l'équation homogène ( $Ce^{-at}$ ) et d'une solution particulière de l'équation complète