Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?

En posant $u$ et $v'$ pour obtenir $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$ avec un intégrande plus simple

L'objectif

Calculer une intégrale de la forme $\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t$ en la transformant en une intégrale plus simple grâce à la formule d'intégration par parties.

Le principe

Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t$ ; on choisit $u$ à dériver (ex. $\ln$ , polynôme) et $v'$ à intégrer (ex. $e^t$ , $\sin$ , $\cos$ ) pour que l'intégrale restante soit plus simple.

La méthode

1
Je pose $u(t)$ (à dériver, typiquement $\ln t$ ou un polynôme) et $v'(t)$ (à intégrer), je vérifie que $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ , puis je calcule $u'(t)$ et $v(t)$ .
2
J'applique la formule $\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t$ .
3
Je calcule le terme tout intégré $[uv]_a^b$ et l'intégrale restante (éventuellement par une nouvelle IPP ou une primitive à vue), puis je conclus.
Comment calculer une intégrale « à vue » en reconnaissant une primitive ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En posant uuu et v′v'v′ pour obtenir ∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v∫ab​uv′=[uv]ab​−∫ab​u′v avec un intégrande plus simple

Exemple corrigé

En posant $u$ et $v'$ pour obtenir $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$ avec un intégrande plus simple