En posant $u$ et $v'$ pour obtenir $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$ avec un intégrande plus simple

Calculer une intégrale de la forme $\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t$ en la transformant en une intégrale plus simple grâce à la formule d'intégration par parties.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I=\int_0^1 xe^x\mathrm{d}x$ .

L'objectif

Calculer une intégrale de la forme $\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t$ en la transformant en une intégrale plus simple grâce à la formule d'intégration par parties.

Le principe

Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t$ ; on choisit $u$ à dériver (ex. $\ln$ , polynôme) et $v'$ à intégrer (ex. $e^t$ , $\sin$ , $\cos$ ) pour que l'intégrale restante soit plus simple.

La méthode

1
Je pose $u(t)$ (à dériver, typiquement $\ln t$ ou un polynôme) et $v'(t)$ (à intégrer), je vérifie que $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ , puis je calcule $u'(t)$ et $v(t)$ .
2
J'applique la formule $\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t$ .
3
Je calcule le terme tout intégré $[uv]_a^b$ et l'intégrale restante (éventuellement par une nouvelle IPP ou une primitive à vue), puis je conclus.
Comment calculer une intégrale « à vue » en reconnaissant une primitive ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $I=\int_0^1 xe^x\mathrm{d}x$ .

Étape 1 —

Je pose

u(t)

(à dériver, typiquement

\ln t

ou un polynôme) et

v'(t)

(à intégrer), je vérifie que

u

v

sont de classe

\mathcal{C}^1

sur

[a,b]

, puis je calcule

u'(t)

v(t)

Je pose $u(t)=t$ et $v'(t)=e^t$ , qui sont $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ . Alors $u'(t)=1$ et $v(t)=e^t$ .

Étape 2 —

J'applique la formule

\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t

$I=[te^t]_0^1-\int_0^1 e^t\mathrm{d}t=e-0-[e^t]_0^1=e-(e-1)$ .

Étape 3 —

Je calcule le terme tout intégré

[uv]_a^b

et l'intégrale restante (éventuellement par une nouvelle IPP ou une primitive à vue), puis je conclus.

$I=e-e+1=1$ .

$I=1$ .

Application guidée

Calculer $J=\int_1^e \ln t\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Calculer $K=\int_0^1 x^2 e^{-x}\mathrm{d}x$ (IPP répétée).

Application autonome 2

Calculer $I=\int_0^{\pi/2} t\cos t\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Calculer $J=\int_1^2 (2t+1)\ln t\,\mathrm{d}t$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant uuu et v′v'v′ pour obtenir ∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v∫ab​uv′=[uv]ab​−∫ab​u′v avec un intégrande plus simple

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $u$ et $v'$ pour obtenir $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$ avec un intégrande plus simple