En observant que $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge, puis en étudiant cette série (éventuellement par convergence absolue)

La relation $u_{n+1}=u_{n_0}+\sum_{k=n_0}^n (u_{k+1}-u_k)$ (somme télescopique) montre que la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge. Pour étudier cette série, on utilise souvent la convergence absolue : si $\sum |u_{n+1}-u_n|$ converge, alors la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge, donc $(u_n)$ converge.