Comment calculer une somme… : En appliquant la formule sum_ k=0 ^n q^k… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer une somme portant sur une suite arithmétique ou géométrique ?

En appliquant la formule $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (si $q\neq 1$ ) ou la somme arithmétique $\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

Donner la valeur explicite d'une somme finie portant sur une suite arithmétique ou géométrique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S_n=\sum_{k=0}^{n}2^k$ .

L'objectif

Donner la valeur explicite d'une somme finie portant sur une suite arithmétique ou géométrique.

Le principe

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ , $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ si $q\neq 1$ (et $n+1$ sinon) ; la linéarité de la somme permet de décomposer $\sum(\alpha k+\beta)=\alpha\sum k+\beta\sum 1$ .

La méthode

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J'identifie la nature de chaque terme : progression arithmétique en $k$ (ou constante), ou progression géométrique en $q^k$ ; je vérifie l'hypothèse $q\neq 1$ avant d'appliquer la formule géométrique.
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Je décompose la somme par linéarité, je ramène chaque morceau aux sommes de référence $\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ , $\sum_{k=0}^{n}1=n+1$ , $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (pour $q\neq 1$ ), en adaptant les bornes par décalage d'indices si besoin.
Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?Voir
3
Je simplifie l'expression obtenue et je donne la valeur finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $S_n=\sum_{k=0}^{n}2^k$ .

Étape 1 —

J'identifie la nature de chaque terme : progression arithmétique en

k

(ou constante), ou progression géométrique en

q^k

; je vérifie l'hypothèse

q\neq 1

avant d'appliquer la formule géométrique.

C'est une somme géométrique de raison $q=2\neq 1$ .

Étape 2 —

Je décompose la somme par linéarité, je ramène chaque morceau aux sommes de référence

\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

\sum_{k=0}^{n}1=n+1

\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

(pour

q\neq 1

), en adaptant les bornes par décalage d'indices si besoin.

J'applique $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ avec $q=2$ : $S_n=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1$ .

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue et je donne la valeur finale.

L'expression se simplifie directement.

$S_n=2^{n+1}-1$ .

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Comment calculer une somme portant sur une suite arithmétique ou géométrique ?

En appliquant la formule ∑k=0nqk=1−qn+11−q\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}∑k=0n​qk=1−q1−qn+1​ (si q≠1q\neq 1q=1) ou la somme arithmétique ∑k=0nk=n(n+1)2\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}∑k=0n​k=2n(n+1)​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la formule $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (si $q\neq 1$ ) ou la somme arithmétique $\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$