Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?

En appliquant les opérations algébriques et les limites de référence

L'objectif

Calculer une limite par application directe des règles opératoires et des limites de référence des fonctions usuelles.

Le principe

Si $\lim_{x\to a} u(x)=\ell_1$ et $\lim_{x\to a} v(x)=\ell_2$ (dans $\mathbb{R}$ ou aux bornes infinies), alors $\lim_{x\to a}(u+v)=\ell_1+\ell_2$ , $\lim(u\cdot v)=\ell_1\ell_2$ et $\lim(u/v)=\ell_1/\ell_2$ sous réserve que ces opérations soient définies (pas de forme indéterminée $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\infty/\infty$ , $0/0$ ) ; pour la composition, $\lim_{x\to a} f(u(x))=\lim_{y\to\ell_1} f(y)$ .

La méthode

1
J'identifie les limites de chaque bloc de l'expression en utilisant les limites usuelles ( $\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ , $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ , etc.).
2
J'applique les règles opératoires sur les limites (somme, produit, quotient, composition) en vérifiant à chaque étape l'absence de forme indéterminée.
3
Je combine les résultats pour conclure ; si une forme indéterminée apparaît, je dois changer de méthode (factorisation, croissances comparées).
Comment utiliser les croissances comparées pour lever une forme indéterminée ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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