Comment étudier la parité et les… : En testant f(-x) pour identifier parité… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment étudier la parité et les symétries d'une fonction ?

En testant $f(-x)$ pour identifier parité ( $f(-x)=f(x)$ ) ou imparité ( $f(-x)=-f(x)$ ) et en déduire la symétrie du graphe

Établir la parité ou l'imparité d'une fonction et interpréter la symétrie correspondante du graphe de $f$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la parité de $f(x)=x^2+1$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Établir la parité ou l'imparité d'une fonction et interpréter la symétrie correspondante du graphe de $f$ .

Le principe

Soit $f$ définie sur un domaine $\mathcal{D}_f$ symétrique par rapport à $0$ ( $\forall x\in\mathcal{D}_f, -x\in\mathcal{D}_f$ ) : $f$ est paire si $\forall x\in\mathcal{D}_f, f(-x)=f(x)$ , et son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; $f$ est impaire si $\forall x\in\mathcal{D}_f, f(-x)=-f(x)$ , et son graphe est symétrique par rapport à l'origine.

La méthode

1
Je vérifie que $\mathcal{D}_f$ est symétrique par rapport à $0$ : pour tout $x\in\mathcal{D}_f$ , $-x$ appartient aussi à $\mathcal{D}_f$ .
Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction ?Voir
2
Je calcule $f(-x)$ en remplaçant $x$ par $-x$ dans l'expression de $f$ , puis je simplifie.
3
Je compare : si $f(-x)=f(x)$ , $f$ est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) ; si $f(-x)=-f(x)$ , $f$ est impaire (symétrie par rapport à l'origine) ; sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la parité de $f(x)=x^2+1$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

\mathcal{D}_f

est symétrique par rapport à

0

: pour tout

x\in\mathcal{D}_f

-x

appartient aussi à

\mathcal{D}_f

$\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(-x)

en remplaçant

x

par

-x

dans l'expression de

f

, puis je simplifie.

$f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)$ .

Étape 3 —

Je compare : si

f(-x)=f(x)

f

est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) ; si

f(-x)=-f(x)

f

est impaire (symétrie par rapport à l'origine) ; sinon,

f

n'est ni paire ni impaire.

Donc $f$ est paire : le graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

$f$ est paire.

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Comment étudier la parité et les symétries d'une fonction ?

En testant f(−x)f(-x)f(−x) pour identifier parité (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)) ou imparité (f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)) et en déduire la symétrie du graphe

Pour comprendre, fais des exercices !

En testant $f(-x)$ pour identifier parité ( $f(-x)=f(x)$ ) ou imparité ( $f(-x)=-f(x)$ ) et en déduire la symétrie du graphe