En étudiant le signe de $f'$ sur le domaine et en reportant variations, limites aux bornes et valeurs remarquables

Construire le tableau de variations d'une fonction dérivable pour lire ses variations, extrema et limites.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dresser le tableau de variations de $f(x)=x^2-2x+3$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Construire le tableau de variations d'une fonction dérivable pour lire ses variations, extrema et limites.

Le principe

Sur un intervalle où $f$ est dérivable, $f'\ge 0$ (resp. $f'\le 0$ ) implique $f$ croissante (resp. décroissante) ; on reporte dans le tableau le signe de $f'$ puis les variations et les limites/valeurs de $f$ aux bornes.

La méthode

1
Je précise le domaine de définition $D_f$ et je calcule $f'(x)$ sur $D_f$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
2
J'étudie le signe de $f'$ (factorisation, étude de racines) et je calcule les valeurs de $f$ aux points où $f'$ s'annule ainsi que les limites aux bornes de $D_f$ .
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
3
Je dresse le tableau de variations en reportant le signe de $f'$ , puis les variations de $f$ et les valeurs/limites, et je conclus sur les extrema et l'image.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dresser le tableau de variations de $f(x)=x^2-2x+3$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je précise le domaine de définition

D_f

et je calcule

f'(x)

sur

D_f

$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=2x-2=2(x-1)$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de

f'

(factorisation, étude de racines) et je calcule les valeurs de

f

aux points où

f'

s'annule ainsi que les limites aux bornes de

D_f

$f'(x)<0$ pour $x<1$ , $f'(1)=0$ , $f'(x)>0$ pour $x>1$ ; $f(1)=1-2+3=2$ ; $\lim_{\pm\infty} f=+\infty$ .

Étape 3 —

Je dresse le tableau de variations en reportant le signe de

f'

, puis les variations de

f

et les valeurs/limites, et je conclus sur les extrema et l'image.

Tableau :

Minimum global $f(1)=2$ , $f$ décroissante sur $]-\infty,1]$ et croissante sur $[1,+\infty[$ .

Application guidée

Dresser le tableau de variations de $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$ .

Application autonome 1

Dresser le tableau de variations de $f(x)=xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Dresser le tableau de variations de $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Dresser le tableau de variations de $f(x)=(x^2-3x)e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

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En étudiant le signe de f′f'f′ sur le domaine et en reportant variations, limites aux bornes et valeurs remarquables

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant le signe de $f'$ sur le domaine et en reportant variations, limites aux bornes et valeurs remarquables