Comment montrer qu'une partie $F$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel ?

En écrivant $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ ou $F=\mathrm{Ker}(A)$ (ensemble des solutions d'un système homogène)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $F=\{(a,b,a+b)\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

La méthode

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Écrire un vecteur générique de $F$ soit comme combinaison linéaire de vecteurs fixes $u_1,\dots,u_p$ , soit comme solution d'un système linéaire homogène $AX=0$ .
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
2
Si je parviens à une écriture $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ , j'invoque le résultat de cours : tout $\mathrm{Vect}$ est un sous-espace vectoriel. Si j'obtiens $F=\mathrm{Ker}(A)$ , j'invoque le résultat de cours : le noyau d'une matrice est un sous-espace vectoriel.
Comment déterminer le noyau d'une matrice ?Voir
3
Je conclus en précisant la nature du sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ obtenu.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $F=\{(a,b,a+b)\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

1

Un vecteur générique de $F$ s'écrit $(a,b,a+b)=a(1,0,1)+b(0,1,1)$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ .

2

Donc $F=\mathrm{Vect}((1,0,1),(0,1,1))$ , et tout $\mathrm{Vect}$ est un sous-espace vectoriel.

3

$F$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

$F=\mathrm{Vect}((1,0,1),(0,1,1))$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

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Comment appliquer le théorème du rang ?

Comment montrer qu'une partie FFF de Rn\mathbb{R}^nRn est un sous-espace vectoriel ?

En écrivant F=Vect(u1,…,up)F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)F=Vect(u1​,…,up​) ou F=Ker(A)F=\mathrm{Ker}(A)F=Ker(A) (ensemble des solutions d'un système homogène)

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment montrer qu'une partie $F$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel ?

En écrivant $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ ou $F=\mathrm{Ker}(A)$ (ensemble des solutions d'un système homogène)