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Comment résoudre une équation d'ordre 2 avec second membre via le principe de superposition ?

En décomposant le second membre c(t)=c1(t)+c2(t)c(t)=c_1(t)+c_2(t) et en sommant deux solutions particulières correspondantes

L'objectif

Résoudre y′′+ay′+by=c(t)y''+ay'+by=c(t) lorsque cc se décompose en somme de termes simples, en traitant chaque terme séparément.

Le principe

L'opérateur L(y)=y′′+ay′+byL(y)=y''+ay'+by étant linéaire, si yP,1y_{P,1} vérifie L(yP,1)=c1(t)L(y_{P,1})=c_1(t) et yP,2y_{P,2} vérifie L(yP,2)=c2(t)L(y_{P,2})=c_2(t), alors yP,1+yP,2y_{P,1}+y_{P,2} vérifie L(y)=c1(t)+c2(t)L(y)=c_1(t)+c_2(t) ; la solution générale de L(y)=c1+c2L(y)=c_1+c_2 s'obtient en ajoutant la solution générale de l'équation homogène.

La méthode
  1. 1
    J'identifie aa, bb, je résous l'équation caractéristique r2+ar+b=0r^2+ar+b=0 (cas à racines réelles) pour obtenir la solution homogène yHy_H sous la forme αer1t+βer2t\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t} ou (α+βt)ert(\alpha+\beta t)e^{rt}.
    Voir
  2. 2
    Je décompose c(t)=c1(t)+c2(t)c(t)=c_1(t)+c_2(t) en termes simples (polynomial, exponentiel, trigonométrique), puis je cherche pour chacun une solution particulière yP,iy_{P,i} de même forme que cic_i.
  3. 3
    Je conclus : la solution générale est y(t)=yH(t)+yP,1(t)+yP,2(t)y(t)=y_H(t)+y_{P,1}(t)+y_{P,2}(t).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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