Comment résoudre une équation d'ordre 2 avec second membre via le principe de superposition ? | MetMat

Comment résoudre une équation d'ordre 2 avec second membre via le principe de superposition ?

En décomposant le second membre $c(t)=c_1(t)+c_2(t)$ et en sommant deux solutions particulières correspondantes

Résoudre $y''+ay'+by=c(t)$ lorsque $c$ se décompose en somme de termes simples, en traitant chaque terme séparément.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''+y'-2y=t+e^{3t}$ .

L'objectif

Résoudre $y''+ay'+by=c(t)$ lorsque $c$ se décompose en somme de termes simples, en traitant chaque terme séparément.

Le principe

L'opérateur $L(y)=y''+ay'+by$ étant linéaire, si $y_{P,1}$ vérifie $L(y_{P,1})=c_1(t)$ et $y_{P,2}$ vérifie $L(y_{P,2})=c_2(t)$ , alors $y_{P,1}+y_{P,2}$ vérifie $L(y)=c_1(t)+c_2(t)$ ; la solution générale de $L(y)=c_1+c_2$ s'obtient en ajoutant la solution générale de l'équation homogène.

La méthode

1
J'identifie $a$ , $b$ , je résous l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ (cas à racines réelles) pour obtenir la solution homogène $y_H$ sous la forme $\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ ou $(\alpha+\beta t)e^{rt}$ .
Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène $y''+ay'+by=0$ (racines réelles) ?Voir
2
Je décompose $c(t)=c_1(t)+c_2(t)$ en termes simples (polynomial, exponentiel, trigonométrique), puis je cherche pour chacun une solution particulière $y_{P,i}$ de même forme que $c_i$ .
3
Je conclus : la solution générale est $y(t)=y_H(t)+y_{P,1}(t)+y_{P,2}(t)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''+y'-2y=t+e^{3t}$ .

Étape 1 —

J'identifie

a

b

, je résous l'équation caractéristique

r^2+ar+b=0

(cas à racines réelles) pour obtenir la solution homogène

y_H

sous la forme

\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}

(\alpha+\beta t)e^{rt}

Équation caractéristique $r^2+r-2=0$ , racines $r_1=1$ et $r_2=-2$ ( $\Delta=9$ ). Donc $y_H(t)=\alpha e^{t}+\beta e^{-2t}$ .

Étape 2 —

Je décompose

c(t)=c_1(t)+c_2(t)

en termes simples (polynomial, exponentiel, trigonométrique), puis je cherche pour chacun une solution particulière

y_{P,i}

de même forme que

c_i

Pour $c_1(t)=t$ : je cherche $y_{P,1}=\lambda t+\mu$ , alors $0+\lambda-2(\lambda t+\mu)=t$ donne $-2\lambda=1$ et $\lambda-2\mu=0$ , soit $\lambda=-\frac{1}{2}$ , $\mu=-\frac{1}{4}$ . Pour $c_2(t)=e^{3t}$ : je cherche $y_{P,2}=\gamma e^{3t}$ , alors $(9+3-2)\gamma e^{3t}=e^{3t}$ donne $\gamma=\frac{1}{10}$ .

Étape 3 —

Je conclus : la solution générale est

y(t)=y_H(t)+y_{P,1}(t)+y_{P,2}(t)

La solution générale est $y(t)=\alpha e^{t}+\beta e^{-2t}-\frac{t}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{10}e^{3t}$ , $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

$y(t)=\alpha e^{t}+\beta e^{-2t}-\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{10}e^{3t}$ , $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-3y'+2y=e^{3t}+1$ .

Application autonome 1

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-y=2t+e^{2t}$ .

Application autonome 2

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''+4y=\cos t+t$ .

Application autonome 3

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+y=t+e^{-2t}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En décomposant le second membre c(t)=c1(t)+c2(t)c(t)=c_1(t)+c_2(t)c(t)=c1​(t)+c2​(t) et en sommant deux solutions particulières correspondantes

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant le second membre $c(t)=c_1(t)+c_2(t)$ et en sommant deux solutions particulières correspondantes