Comment écrire un système sous… : En identifiant la matrice A, le vecteur… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment écrire un système sous forme matricielle $AX=Y$ et le résoudre ?

En identifiant la matrice $A$ , le vecteur colonne $X$ des inconnues et le second membre $Y$ , puis en résolvant par pivot ou via $A^{-1}$ lorsque $A$ est inversible

Résoudre un système linéaire via son écriture matricielle $AX=Y$ , soit par le pivot de Gauss, soit par calcul de $A^{-1}Y$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre, via l'écriture matricielle et $A^{-1}$ , le système $\begin{cases} 3x+2y=7 \\ x+4y=9 \end{cases}$ .

L'objectif

Résoudre un système linéaire via son écriture matricielle $AX=Y$ , soit par le pivot de Gauss, soit par calcul de $A^{-1}Y$ .

Le principe

Un système de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit $AX=Y$ avec $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , $X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})$ et $Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ ; si $A$ est carrée inversible, l'unique solution est $X=A^{-1}Y$ , sinon on résout par pivot de Gauss.

La méthode

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Je mets le système sous forme standard et j'identifie $A$ (coefficients), $X$ (inconnues en colonne) et $Y$ (second membre en colonne), puis j'écris $AX=Y$ .
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Je regarde si $A$ est carrée et inversible : si oui, je calcule $A^{-1}$ (par déterminant en dimension $2$ , par pivot sinon) et je pose $X=A^{-1}Y$ ; sinon, j'applique directement le pivot de Gauss sur le système.
Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?Voir
3
Je calcule le produit ou je termine le pivot pour obtenir les inconnues, puis je conclus en donnant l'ensemble des solutions.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre, via l'écriture matricielle et $A^{-1}$ , le système $\begin{cases} 3x+2y=7 \\ x+4y=9 \end{cases}$ .

Étape 1 —

Je mets le système sous forme standard et j'identifie

A

(coefficients),

X

(inconnues en colonne) et

Y

(second membre en colonne), puis j'écris

AX=Y

Je pose $A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , $Y=\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}$ : le système équivaut à $AX=Y$ .

Étape 2 —

Je regarde si

A

est carrée et inversible : si oui, je calcule

A^{-1}

(par déterminant en dimension

2

, par pivot sinon) et je pose

X=A^{-1}Y

; sinon, j'applique directement le pivot de Gauss sur le système.

$\det(A)=12-2=10\neq 0$ donc $A$ est inversible avec $A^{-1}=\tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ ; la solution est $X=A^{-1}Y$ .

Étape 3 —

Je calcule le produit ou je termine le pivot pour obtenir les inconnues, puis je conclus en donnant l'ensemble des solutions.

$X=\tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 4\cdot 7-2\cdot 9 \\ -7+3\cdot 9 \end{pmatrix}=\tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 10 \\ 20 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

$(x,y)=(1,2)$ .

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Comment écrire un système sous forme matricielle AX=YAX=YAX=Y et le résoudre ?

En identifiant la matrice AAA, le vecteur colonne XXX des inconnues et le second membre YYY, puis en résolvant par pivot ou via A−1A^{-1}A−1 lorsque AAA est inversible

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment écrire un système sous forme matricielle $AX=Y$ et le résoudre ?

En identifiant la matrice $A$ , le vecteur colonne $X$ des inconnues et le second membre $Y$ , puis en résolvant par pivot ou via $A^{-1}$ lorsque $A$ est inversible