En appliquant les opérations algébriques sur les suites convergentes

Déterminer la limite d'une suite en la décomposant en suites élémentaires dont les limites sont connues.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la limite de $u_n=\dfrac{3n^2+1}{n^2-2}$ .

L'objectif

Déterminer la limite d'une suite en la décomposant en suites élémentaires dont les limites sont connues.

Le principe

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $\ell$ et $\ell'$ , alors $u_n+v_n\to \ell+\ell'$ , $u_n v_n\to \ell\ell'$ et, si $\ell'\neq 0$ , $\frac{u_n}{v_n}\to \frac{\ell}{\ell'}$ ; pour une forme indéterminée ( $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ ), on factorise par le terme dominant avant de passer à la limite.

La méthode

1
Je repère la forme indéterminée éventuelle en évaluant formellement le numérateur et le dénominateur à l'infini.
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
2
Je factorise chaque terme par sa puissance dominante (généralement la plus grande puissance de $n$ ) pour lever l'indétermination.
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
3
J'applique les règles d'opérations sur les limites aux facteurs simplifiés et je conclus sur la limite de $u_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la limite de $u_n=\dfrac{3n^2+1}{n^2-2}$ .

Étape 1 —

Je repère la forme indéterminée éventuelle en évaluant formellement le numérateur et le dénominateur à l'infini.

Quand $n\to+\infty$ , le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ .

Étape 2 —

Je factorise chaque terme par sa puissance dominante (généralement la plus grande puissance de

n

) pour lever l'indétermination.

Je factorise par $n^2$ : $u_n=\dfrac{n^2\left(3+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1-\frac{2}{n^2}\right)}=\dfrac{3+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}$ .

Étape 3 —

J'applique les règles d'opérations sur les limites aux facteurs simplifiés et je conclus sur la limite de

u_n

Comme $\frac{1}{n^2}\to 0$ et $\frac{2}{n^2}\to 0$ , par opérations $u_n\to\dfrac{3+0}{1-0}=3$ .

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 3$ .

Application guidée

Étudier la limite de $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ .

Application autonome 1

Étudier la limite de $u_n=\dfrac{2^n+n}{3^n-1}$ .

Application autonome 2

Étudier la limite de $u_n=\dfrac{n^3-2n+1}{2n^3+n^2}$ .

Application autonome 3

Étudier la limite de $u_n=n\left(e^{1/n}-1\right)$ .

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