Comment comparer des suites à… : En appliquant la hiérarchie (ln n)^b ll… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment comparer des suites à l'aide des croissances comparées ?

En appliquant la hiérarchie $(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n$ (avec $a>0$ et $q>1$ ) pour lever les formes indéterminées

Déterminer la limite d'une suite mêlant logarithmes, puissances et exponentielles en exploitant la hiérarchie des croissances comparées.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^{100}}{2^n}$ .

L'objectif

Déterminer la limite d'une suite mêlant logarithmes, puissances et exponentielles en exploitant la hiérarchie des croissances comparées.

Le principe

Pour tout $a>0$ , $b>0$ et $q>1$ , on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{(\ln n)^b}{n^a}=0$ , $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n^a}{q^n}=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{q^n}{n!}=0$ ; autrement dit, $(\ln n)^b\ll n^a\ll q^n\ll n!$ à l'infini.

La méthode

1
J'identifie dans $u_n$ les termes du type $(\ln n)^b$ , $n^a$ , $q^n$ ou $n!$ et je repère le terme dominant au numérateur et au dénominateur.
2
Je factorise ou j'utilise directement une des limites de croissances comparées pour conclure, en transformant éventuellement l'expression pour faire apparaître un quotient standard.
Comment utiliser les croissances comparées pour lever une forme indéterminée ?Voir
3
J'applique les opérations sur les limites aux facteurs restants pour obtenir la limite finale de $u_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^{100}}{2^n}$ .

Étape 1 —

J'identifie dans

u_n

les termes du type

(\ln n)^b

n^a

q^n

n!

et je repère le terme dominant au numérateur et au dénominateur.

Numérateur $n^{100}\to+\infty$ , dénominateur $2^n\to+\infty$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$ . Ici $a=100>0$ et $q=2>1$ .

Étape 2 —

Je factorise ou j'utilise directement une des limites de croissances comparées pour conclure, en transformant éventuellement l'expression pour faire apparaître un quotient standard.

Par croissances comparées, pour tout $a>0$ et tout $q>1$ , $\dfrac{n^a}{q^n}\to 0$ ; en particulier avec $a=100$ et $q=2$ .

Étape 3 —

J'applique les opérations sur les limites aux facteurs restants pour obtenir la limite finale de

u_n

Donc $\dfrac{n^{100}}{2^n}\to 0$ .

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^{100}}{2^n}=0$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment comparer des suites à l'aide des croissances comparées ?

En appliquant la hiérarchie (ln⁡n)b≪na≪qn(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n(lnn)b≪na≪qn (avec a>0a>0a>0 et q>1q>1q>1) pour lever les formes indéterminées

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la hiérarchie $(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n$ (avec $a>0$ et $q>1$ ) pour lever les formes indéterminées