En résolvant l'équation $\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0$ et en concluant que tous les $\lambda_i$ sont nuls

Démontrer qu'une famille $(u_1,\dots,u_p)$ de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ est libre.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la famille $((1,0,1),(0,1,1),(1,1,0))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Démontrer qu'une famille $(u_1,\dots,u_p)$ de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ est libre.

Le principe

Une famille $(u_1,\dots,u_p)$ de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ est libre si et seulement si pour tous scalaires $\lambda_1,\dots,\lambda_p\in\mathbb{R}$ , l'égalité $\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0_{\mathbb{R}^n}$ entraîne $\lambda_1=\dots=\lambda_p=0$ .

La méthode

1
Je considère des scalaires $\lambda_1,\dots,\lambda_p\in\mathbb{R}$ tels que $\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0_{\mathbb{R}^n}$ , et j'écris cette égalité composante par composante pour obtenir un système linéaire homogène sur les $\lambda_i$ .
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
2
Je résous ce système (en général par pivot de Gauss) pour en déduire $\lambda_1=\dots=\lambda_p=0$ : si c'est le cas, la famille est libre ; sinon, j'exhibe une combinaison linéaire nulle non triviale qui prouve qu'elle est liée.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je conclus sur le caractère libre (ou lié) de la famille.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que la famille $((1,0,1),(0,1,1),(1,1,0))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je considère des scalaires

\lambda_1,\dots,\lambda_p\in\mathbb{R}

tels que

\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0_{\mathbb{R}^n}

, et j'écris cette égalité composante par composante pour obtenir un système linéaire homogène sur les

\lambda_i

Soient $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ tels que $\lambda_1(1,0,1)+\lambda_2(0,1,1)+\lambda_3(1,1,0)=(0,0,0)$ , ce qui donne le système $\begin{cases}\lambda_1+\lambda_3=0\\ \lambda_2+\lambda_3=0\\ \lambda_1+\lambda_2=0\end{cases}$ .

Étape 2 —

Je résous ce système (en général par pivot de Gauss) pour en déduire

\lambda_1=\dots=\lambda_p=0

: si c'est le cas, la famille est libre ; sinon, j'exhibe une combinaison linéaire nulle non triviale qui prouve qu'elle est liée.

Par soustraction des deux premières : $\lambda_1=\lambda_2$ . Avec la troisième : $2\lambda_1=0$ donc $\lambda_1=0$ , puis $\lambda_2=0$ , puis $\lambda_3=0$ .

Étape 3 —

Je conclus sur le caractère libre (ou lié) de la famille.

Les trois scalaires sont nuls, donc la famille est libre.

La famille est libre.

Application guidée

La famille $((1,2,3),(2,4,6))$ est-elle libre dans $\mathbb{R}^3$ ?

Application autonome 1

Montrer que la famille $((1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1))$ est libre dans $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 2

Montrer que la famille $((1,1,1),(1,2,3),(1,4,9))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

La famille $((1,0,1,1),(0,1,1,2),(1,1,2,3))$ est-elle libre dans $\mathbb{R}^4$ ?

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En résolvant l'équation λ1u1+⋯+λpup=0\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0λ1​u1​+⋯+λp​up​=0 et en concluant que tous les λi\lambda_iλi​ sont nuls

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation $\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0$ et en concluant que tous les $\lambda_i$ sont nuls