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Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?

En résolvant l'équation λ1u1+⋯+λpup=0\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0 et en concluant que tous les λi\lambda_i sont nuls

L'objectif

Démontrer qu'une famille (u1,…,up)(u_1,\dots,u_p) de vecteurs de Rn\mathbb{R}^n est libre.

Le principe

Une famille (u1,…,up)(u_1,\dots,u_p) de vecteurs de Rn\mathbb{R}^n est libre si et seulement si pour tous scalaires λ1,…,λp∈R\lambda_1,\dots,\lambda_p\in\mathbb{R}, l'égalité λ1u1+⋯+λpup=0Rn\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0_{\mathbb{R}^n} entraîne λ1=⋯=λp=0\lambda_1=\dots=\lambda_p=0.

La méthode
  1. 1
    Je considère des scalaires λ1,…,λp∈R\lambda_1,\dots,\lambda_p\in\mathbb{R} tels que λ1u1+⋯+λpup=0Rn\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0_{\mathbb{R}^n}, et j'écris cette égalité composante par composante pour obtenir un système linéaire homogène sur les λi\lambda_i.
    Voir
  2. 2
    Je résous ce système (en général par pivot de Gauss) pour en déduire λ1=⋯=λp=0\lambda_1=\dots=\lambda_p=0 : si c'est le cas, la famille est libre ; sinon, j'exhibe une combinaison linéaire nulle non triviale qui prouve qu'elle est liée.
    Voir
  3. 3
    Je conclus sur le caractère libre (ou lié) de la famille.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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