Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une (unique) solution sur un intervalle ? | MetMat

Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une (unique) solution sur un intervalle ?

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (continuité sur un segment + changement de signe)

L'objectif

Prouver l'existence d'au moins une solution à $f(x)=k$ sur un intervalle par le théorème des valeurs intermédiaires.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ adapté (ou sur l'intervalle où l'on cherche la solution).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je calcule $f(a)$ et $f(b)$ et je m'assure que $k$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (changement de signe pour $k=0$ ).
3
J'applique le TVI : il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f(c)=k$ , ce qui prouve l'existence d'une solution.

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Application guidée 1

Montrer que l'équation $x^5+x-3=0$ admet une solution dans $[1,2]$ .

Application guidée 2

Montrer que $\cos x=x$ admet une solution dans $[0,1]$ .

Application autonome 1

Montrer que $e^x - 2 = 0$ admet une solution dans $[0,1]$ .

Application autonome 2

Montrer que l'équation $\ln x=1-x$ admet une unique solution dans $]0,+\infty[$ .

Application autonome 3

Montrer que l'équation $x^3+x^2-1=0$ admet une unique solution réelle.

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