Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une (unique) solution sur un intervalle ?

Je pose $f(x)=x^3+x+1$, continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme).

$f'(x)=3x^2+1>0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante. De plus $\lim_{-\infty} f=-\infty$ et $\lim_{+\infty} f=+\infty$, donc $0\in f(\mathbb{R})$.

Par le théorème de la bijection, $f(x)=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$, avec $f(-1)=-1$ et $f(0)=1$, donc $\alpha\in]-1,0[$.