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Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

En utilisant le signe de la dérivée de ff lorsque un=f(n)u_n = f(n)

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite (un)(u_n) de la forme un=f(n)u_n=f(n) par étude de ff.

Le principe

Si ff est dérivable sur [0,+∞[[0,+\infty[ et f′≥0f'\ge 0 (resp. ≤0\le 0) sur [N,+∞[[N,+\infty[, alors ff est croissante (resp. décroissante) sur cet intervalle, et la suite un=f(n)u_n=f(n) hérite de la même monotonie pour n≥Nn\ge N.

La méthode
  1. 1
    J'identifie ff telle que un=f(n)u_n=f(n), je vérifie que ff est définie et dérivable sur [0,+∞[[0,+\infty[ (ou sur [N,+∞[[N,+\infty[).
  2. 2
    Je calcule f′(x)f'(x) et j'étudie son signe sur l'intervalle considéré, en dressant éventuellement un tableau de variations.
    Voir
  3. 3
    Je transfère la monotonie de ff à la suite (un)(u_n) : si ff est croissante (resp. décroissante) sur [N,+∞[[N,+\infty[, alors (un)n≥N(u_n)_{n\ge N} est croissante (resp. décroissante).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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