Comment identifier un équilibre d'une équation différentielle et discuter sa stabilité ?

En cherchant les solutions constantes ( $y'=0$ ) et en observant si les trajectoires voisines convergent vers cet équilibre quand $t\to +\infty$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier l'équilibre et sa stabilité pour l'équation $y'=-2y+4$ .

La méthode

1
Je cherche les solutions constantes en imposant $y'=0$ : pour $y'=-ay+b$ , cela donne l'équation $-ay^\star+b=0$ , soit $y^\star=\frac{b}{a}$ si $a\neq 0$ .
2
Je résous l'équation complète et j'écris la solution générale sous la forme $y(t)=(y_0-y^\star)e^{-at}+y^\star$ , ce qui met en évidence l'écart à l'équilibre.
3
Je conclus sur la stabilité : si $a>0$ , $e^{-at}\to 0$ et $y(t)\to y^\star$ , l'équilibre est attractif ; si $a<0$ , $|y(t)-y^\star|\to+\infty$ , l'équilibre est répulsif.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Étudier l'équilibre et sa stabilité pour l'équation $y'=-2y+4$ .

1

$y'=0$ donne $-2y^\star+4=0$ , soit $y^\star=2$ .

2

L'équation s'écrit $y'+2y=4$ : la solution générale est $y(t)=Ce^{-2t}+2$ , et si $y(0)=y_0$ alors $C=y_0-2$ , d'où $y(t)=(y_0-2)e^{-2t}+2$ .

3

Comme le coefficient $a=2>0$ , $e^{-2t}\to 0$ quand $t\to+\infty$ , donc $y(t)\to 2$ : l'équilibre est attractif.

Équilibre $y^\star=2$ , attractif ( $a=2>0$ ).

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment identifier un équilibre d'une équation différentielle et discuter sa stabilité ?

En cherchant les solutions constantes (y′=0y'=0y′=0) et en observant si les trajectoires voisines convergent vers cet équilibre quand t→+∞t\to +\inftyt→+∞

Pour comprendre, passons aux exercices.

En cherchant les solutions constantes ( $y'=0$ ) et en observant si les trajectoires voisines convergent vers cet équilibre quand $t\to +\infty$