Utiliser l'équivalence entre la convergence de la suite (un)(u_n)(un) et celle de la série télescopique associée pour conclure.
Choisissez une approche :
En observant que (un)(u_n)(un) converge si et seulement si la série ∑(un+1−un)\sum (u_{n+1}-u_n)∑(un+1−un) converge, puis en étudiant cette série (éventuellement par convergence absolue)
On ramène l'étude de la suite (un)(u_n)(un) à celle de la série des accroissements ∑(un+1−un)\sum (u_{n+1}-u_n)∑(un+1−un), qu'on étudie par majoration ou convergence absolue.