Comment étudier la convergence d'une suite à l'aide de la série télescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ ?

En observant que $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge, puis en étudiant cette série (éventuellement par convergence absolue)

On ramène l'étude de la suite $(u_n)$ à celle de la série des accroissements $\sum (u_{n+1}-u_n)$, qu'on étudie par majoration ou convergence absolue.