Comment montrer qu'une série converge à partir de la suite de ses sommes partielles ?

En calculant explicitement $S_n=\sum_{k=n_0}^n u_k$ (éventuellement par télescopage) et en étudiant sa limite quand $n\to+\infty$

On revient à la définition : la série $\sum u_n$ converge si et seulement si la suite $(S_n)$ de ses sommes partielles admet une limite finie.