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Comment montrer qu'une série converge à partir de la suite de ses sommes partielles ?

En calculant explicitement Sn=∑k=n0nukS_n=\sum_{k=n_0}^n u_k (éventuellement par télescopage) et en étudiant sa limite quand n→+∞n\to+\infty

L'objectif

Démontrer qu'une série ∑un\sum u_n converge et déterminer sa somme en étudiant la suite de ses sommes partielles.

Le principe

Par définition, la série ∑n≥n0un\sum_{n\ge n_0} u_n converge si et seulement si la suite (Sn)n≥n0(S_n)_{n\ge n_0} définie par Sn=∑k=n0nukS_n=\sum_{k=n_0}^n u_k admet une limite finie ℓ∈R\ell\in\mathbb{R} ; dans ce cas, on note ∑n=n0+∞un=ℓ\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n=\ell.

La méthode
  1. 1
    J'écris la somme partielle Sn=∑k=n0nukS_n=\sum_{k=n_0}^n u_k en explicitant les premiers termes pour repérer une structure exploitable (télescopage, somme géométrique, etc.).
  2. 2
    Je simplifie SnS_n sous forme fermée, en particulier si uk=ak+1−aku_k=a_{k+1}-a_k (télescopage) : Sn=an+1−an0S_n=a_{n+1}-a_{n_0}.
  3. 3
    J'étudie lim⁡n→+∞Sn\lim_{n\to+\infty} S_n ; si cette limite existe et est finie, la série converge et ∑n=n0+∞un=lim⁡n→+∞Sn\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n=\lim_{n\to+\infty} S_n, sinon la série diverge.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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