Comment effectuer un produit matriciel et calculer la transposée ?

En transposant pour échanger lignes et colonnes, puis en reconnaissant la symétrie par $A={}^t\!A$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la transposée de $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

La méthode

1
J'identifie la taille de $A$ (notée $n\times p$ ) et j'annonce que ${}^t\!A$ sera de taille $p\times n$ .
2
Je forme ${}^t\!A$ en prenant la $i$ -ème ligne de $A$ comme $i$ -ème colonne de ${}^t\!A$ (coefficient $({}^t\!A)_{ij}=A_{ji}$ ).
3
Si $A$ est carrée, je compare $A$ et ${}^t\!A$ coefficient par coefficient pour conclure si $A$ est symétrique ( $A={}^t\!A$ ) ou non.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer la transposée de $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

1

$A$ est de taille $2\times 3$ , donc ${}^t\!A$ sera de taille $3\times 2$ .

2

La première ligne $(1,2,3)$ de $A$ devient la première colonne de ${}^t\!A$ , et la deuxième ligne $(4,5,6)$ devient la deuxième colonne.

3

$A$ n'est pas carrée : la question de symétrie ne se pose pas.

${}^t\!A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .

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Comment écrire un système sous forme matricielle

AX=Y

et le résoudre ?

Comment effectuer un produit matriciel et calculer la transposée ?

En transposant pour échanger lignes et colonnes, puis en reconnaissant la symétrie par A=t ⁣AA={}^t\!AA=tA

Pour comprendre, passons aux exercices.

En transposant pour échanger lignes et colonnes, puis en reconnaissant la symétrie par $A={}^t\!A$