Comment calculer les puissances… : En calculant directement pour une… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer les puissances $n$ -èmes d'une matrice carrée ?

En calculant directement pour une matrice diagonale ou triangulaire

Obtenir rapidement $A^n$ lorsque la structure de $A$ (diagonale ou triangulaire simple) permet un calcul direct.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculer $D^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

L'objectif

Obtenir rapidement $A^n$ lorsque la structure de $A$ (diagonale ou triangulaire simple) permet un calcul direct.

Le principe

Si $D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_p)\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ , alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $D^n=\mathrm{diag}(d_1^n,\dots,d_p^n)$ ; pour une matrice triangulaire simple, le calcul des premières puissances révèle souvent une forme explicite immédiate.

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée et j'identifie sa structure : diagonale, triangulaire, ou ni l'une ni l'autre.
2
Si $A=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_p)$ , j'écris directement $A^n=\mathrm{diag}(d_1^n,\dots,d_p^n)$ ; sinon je calcule $A^2$ , voire $A^3$ , pour observer le motif.
3
Je conclus en donnant l'expression de $A^n$ et, si besoin, je vérifie le cas $n=0$ (qui doit donner $I_p$ ) et $n=1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculer $D^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est carrée et j'identifie sa structure : diagonale, triangulaire, ou ni l'une ni l'autre.

$D$ est carrée d'ordre $2$ et diagonale.

Étape 2 —

A=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_p)

, j'écris directement

A^n=\mathrm{diag}(d_1^n,\dots,d_p^n)

; sinon je calcule

A^2

, voire

A^3

, pour observer le motif.

Comme $D=\mathrm{diag}(2,3)$ , j'écris $D^n=\mathrm{diag}(2^n,3^n)$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant l'expression de

A^n

et, si besoin, je vérifie le cas

n=0

(qui doit donner

I_p

) et

n=1

Vérification : pour $n=0$ , $D^0=\mathrm{diag}(1,1)=I_2$ ; pour $n=1$ , on retrouve bien $D$ .

$D^n=\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer les puissances nnn-èmes d'une matrice carrée ?

En calculant directement pour une matrice diagonale ou triangulaire

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer les puissances $n$ -èmes d'une matrice carrée ?