En calculant directement pour une matrice diagonale ou triangulaire

Obtenir rapidement $A^n$ lorsque la structure de $A$ (diagonale ou triangulaire simple) permet un calcul direct.

L'objectif

Obtenir rapidement $A^n$ lorsque la structure de $A$ (diagonale ou triangulaire simple) permet un calcul direct.

Le principe

Si $D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_p)\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ , alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $D^n=\mathrm{diag}(d_1^n,\dots,d_p^n)$ ; pour une matrice triangulaire simple, le calcul des premières puissances révèle souvent une forme explicite immédiate.

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée et j'identifie sa structure : diagonale, triangulaire, ou ni l'une ni l'autre.
2
Si $A=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_p)$ , j'écris directement $A^n=\mathrm{diag}(d_1^n,\dots,d_p^n)$ ; sinon je calcule $A^2$ , voire $A^3$ , pour observer le motif.
3
Je conclus en donnant l'expression de $A^n$ et, si besoin, je vérifie le cas $n=0$ (qui doit donner $I_p$ ) et $n=1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculer $D^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est carrée et j'identifie sa structure : diagonale, triangulaire, ou ni l'une ni l'autre.

$D$ est carrée d'ordre $2$ et diagonale.

Étape 2 —

A=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_p)

, j'écris directement

A^n=\mathrm{diag}(d_1^n,\dots,d_p^n)

; sinon je calcule

A^2

, voire

A^3

, pour observer le motif.

Comme $D=\mathrm{diag}(2,3)$ , j'écris $D^n=\mathrm{diag}(2^n,3^n)$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant l'expression de

A^n

et, si besoin, je vérifie le cas

n=0

(qui doit donner

I_p

) et

n=1

Vérification : pour $n=0$ , $D^0=\mathrm{diag}(1,1)=I_2$ ; pour $n=1$ , on retrouve bien $D$ .

$D^n=\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 1

Soit $D=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ . Calculer $D^n$ .

Application autonome 2

Soit $T=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (matrice nilpotente). Calculer $T^n$ .

Application autonome 3

Soit $T=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Écrire $T=2I_3+N$ avec $N$ nilpotente, puis en déduire $T^n$ pour $n\geq 2$ .

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