Comment calculer les puissances $n$-èmes d'une matrice carrée ? | MetMat

Comment calculer les puissances $n$ -èmes d'une matrice carrée ?

En conjecturant la forme de $A^n$ puis en la démontrant par récurrence

Obtenir une formule explicite de $A^n$ pour une matrice carrée donnée, en conjecturant le motif puis en le prouvant rigoureusement.

L'objectif

Obtenir une formule explicite de $A^n$ pour une matrice carrée donnée, en conjecturant le motif puis en le prouvant rigoureusement.

Le principe

Pour $A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ fixée, le calcul des premières puissances $A^2,A^3,\dots$ met souvent en évidence une formule paramétrée par $n$ que l'on démontre ensuite par récurrence grâce à la relation $A^{n+1}=A\cdot A^n$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée puis je calcule $A^2$ et $A^3$ afin d'observer la structure des coefficients et de formuler une conjecture sur $A^n$ .
2
J'énonce la propriété $P(n)$ : « $A^n$ s'écrit sous la forme conjecturée », puis je vérifie l'initialisation ( $n=0$ ou $n=1$ ).
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?Voir
3
Je suppose $P(n)$ vraie pour un $n$ fixé et je calcule $A^{n+1}=A\cdot A^n$ en utilisant l'hypothèse, puis je conclus que $P(n+1)$ est vraie et donc $P(n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

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Exercice d'exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Démontrer que $A^n=\begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est carrée puis je calcule

A^2

A^3

afin d'observer la structure des coefficients et de formuler une conjecture sur

A^n

Je calcule $A^2=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ : le coefficient $(1,2)$ vaut $n\cdot 2^{n-1}$ .

Étape 2 —

J'énonce la propriété

P(n)

: «

A^n

s'écrit sous la forme conjecturée », puis je vérifie l'initialisation (

n=0

n=1

Soit $P(n)$ : « $A^n=\begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ ». Pour $n=1$ , $A^1=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ : $P(1)$ est vraie.

Étape 3 —

Je suppose

P(n)

vraie pour un

n

fixé et je calcule

A^{n+1}=A\cdot A^n

en utilisant l'hypothèse, puis je conclus que

P(n+1)

est vraie et donc

P(n)

pour tout

n\in\mathbb{N}

Supposons $P(n)$ vraie. Alors $A^{n+1}=A\cdot A^n=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{n+1} & n\,2^n+2^n \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{n+1} & (n+1)\,2^n \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}$ , donc $P(n+1)$ .

$A^n=\begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .

Application guidée

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Déterminer $A^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 1

Soit $J=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $J^n=2^{n-1}J$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .

Application autonome 2

Soit $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Montrer par récurrence que $A^n=\begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ n\cdot 3^{n-1} & 3^n \end{pmatrix}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .

Application autonome 3

Soit $N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Conjecturer et prouver par récurrence $N^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

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En conjecturant la forme de AnA^nAn puis en la démontrant par récurrence

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En conjecturant la forme de $A^n$ puis en la démontrant par récurrence