Comment calculer les puissances $n$-èmes d'une matrice carrée ?

Je calcule $A^2=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ : le coefficient $(1,2)$ vaut $n\cdot 2^{n-1}$.

Soit $P(n)$ : « $A^n=\begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ ». Pour $n=1$, $A^1=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ : $P(1)$ est vraie.

Supposons $P(n)$ vraie. Alors $A^{n+1}=A\cdot A^n=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{n+1} & n\,2^n+2^n \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{n+1} & (n+1)\,2^n \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}$, donc $P(n+1)$.