En exploitant un polynôme annulateur pour exprimer $A^n$ comme combinaison linéaire des puissances inférieures

Calculer $A^n$ lorsque $A$ vérifie une relation polynomiale simple, en ramenant toute puissance à une combinaison de $I_p,A,\dots,A^{k-1}$ .

L'objectif

Calculer $A^n$ lorsque $A$ vérifie une relation polynomiale simple, en ramenant toute puissance à une combinaison de $I_p,A,\dots,A^{k-1}$ .

Le principe

Si $A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ vérifie $A^k=\alpha_{k-1}A^{k-1}+\dots+\alpha_1 A+\alpha_0 I_p$ , alors toutes les puissances $A^n$ avec $n\ge k$ s'expriment comme combinaisons linéaires de $I_p,A,\dots,A^{k-1}$ , ce qui ramène le calcul de $A^n$ à celui de suites numériques.

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée puis je calcule $A^2$ (voire $A^3$ ) et j'établis une relation polynomiale du type $A^k=\alpha_{k-1}A^{k-1}+\dots+\alpha_0 I_p$ .
2
Je pose $A^n=a_n A+b_n I_p$ (cas $k=2$ ) ou une combinaison analogue, puis je multiplie par $A$ et j'utilise la relation pour obtenir des relations de récurrence sur les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ .
3
Je résous les suites avec les conditions initiales $A^0=I_p$ et $A^1=A$ , puis je conclus en écrivant $A^n$ explicitement.
Comment calculer explicitement le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (racines réelles) ?Voir

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Exercice d'exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ en exploitant la relation $A^2=4A-3I_2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est carrée puis je calcule

A^2

(voire

A^3

) et j'établis une relation polynomiale du type

A^k=\alpha_{k-1}A^{k-1}+\dots+\alpha_0 I_p

On vérifie $A^2=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ et $4A-3I_2=\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ : relation $A^2=4A-3I_2$ confirmée.

Étape 2 —

Je pose

A^n=a_n A+b_n I_p

(cas

k=2

) ou une combinaison analogue, puis je multiplie par

A

et j'utilise la relation pour obtenir des relations de récurrence sur les suites

(a_n)

(b_n)

Je pose $A^n=a_n A+b_n I_2$ . Alors $A^{n+1}=a_n A^2+b_n A=a_n(4A-3I_2)+b_n A=(4a_n+b_n)A-3a_n I_2$ , d'où $a_{n+1}=4a_n+b_n$ et $b_{n+1}=-3a_n$ .

Étape 3 —

Je résous les suites avec les conditions initiales

A^0=I_p

A^1=A

, puis je conclus en écrivant

A^n

explicitement.

Avec $a_0=0,b_0=1$ et $a_1=1,b_1=0$ , on résout (suite récurrente linéaire d'ordre 2 $a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n$ ) : $a_n=\frac{3^n-1}{2}$ , $b_n=-3a_{n-1}=\frac{3-3^n}{2}$ , soit $A^n=\frac{3^n-1}{2}A+\frac{3-3^n}{2}I_2$ .

$A^n=\dfrac{3^n-1}{2}A+\dfrac{3-3^n}{2}I_2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Application guidée

Soit $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2=A$ (projecteur). Montrer que $A^n=A$ pour tout $n\ge 1$ .

Application autonome 1

Soit $A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2=3A-2I_3$ . Exprimer $A^n$ sous la forme $\alpha_n A+\beta_n I_3$ .

Application autonome 2

Soit $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2=2A-I_2$ . Exprimer $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ en fonction de $A$ , $I_2$ et $n$ .

Application autonome 3

Soit $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3=A$ . Montrer que pour tout $n\ge 1$ , $A^{2n+1}=A$ et $A^{2n}=A^2$ .

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En exploitant un polynôme annulateur pour exprimer AnA^nAn comme combinaison linéaire des puissances inférieures

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En exploitant un polynôme annulateur pour exprimer $A^n$ comme combinaison linéaire des puissances inférieures