Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En encadrant $u_n$ à l'aide d'une suite de référence connue

Établir qu'une suite est majorée, minorée ou bornée en la comparant à une suite connue (géométrique, arithmétique, somme de Riemann, ...).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$ (pour $n\ge 1$ ) est majorée.

L'objectif

Établir qu'une suite est majorée, minorée ou bornée en la comparant à une suite connue (géométrique, arithmétique, somme de Riemann, ...).

Le principe

Si $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\le v_n$ et $(v_n)$ est majorée par $M$ , alors $(u_n)$ est majorée par $M$ ; analogue pour la minoration et la bornitude.

La méthode

1
Je repère une suite $(v_n)$ (ou une valeur explicite) dont je connais une majoration/minoration utile (géométrique convergente, somme télescopique, intégrale de référence, etc.).
2
Je justifie l'inégalité $u_n\le v_n$ (ou $u_n\ge v_n$ ) pour tout $n$ , en l'argumentant par majoration terme à terme, intégrale ou inégalité classique.
3
Je transfère la borne connue de $(v_n)$ à $(u_n)$ pour conclure sur son caractère majoré, minoré ou borné.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$ (pour $n\ge 1$ ) est majorée.

Étape 1 —

Je repère une suite

(v_n)

(ou une valeur explicite) dont je connais une majoration/minoration utile (géométrique convergente, somme télescopique, intégrale de référence, etc.).

Je compare chaque terme à la suite de référence $\frac{1}{k^2}\le\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$ pour $k\ge 2$ (inégalité classique).

Étape 2 —

Je justifie l'inégalité

u_n\le v_n

(ou

u_n\ge v_n

) pour tout

n

, en l'argumentant par majoration terme à terme, intégrale ou inégalité classique.

Donc $u_n=1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}\le 1+\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1+\left(1-\frac{1}{n}\right)\le 2$ (somme télescopique).

Étape 3 —

Je transfère la borne connue de

(v_n)

(u_n)

pour conclure sur son caractère majoré, minoré ou borné.

La suite $(u_n)$ est croissante (ajout d'un terme positif) et majorée par $2$ , donc bornée sur $\mathbb{N}^\star$ .

$\forall n\ge 1,\ u_n\le 2$ : $(u_n)$ est majorée par $2$ .

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}$ . Montrer que $|u_n|\le 1$ pour tout $n\ge 1$ .

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie pour $n\geq 1$ par $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k!}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie pour $n\geq 1$ par $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sin k}{k^2}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

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En encadrant unu_nun​ à l'aide d'une suite de référence connue

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