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Comment étudier une suite ou une fonction définie par une intégrale ?

En dérivant F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t ou en comparant In=∫abfnI_n=\int_a^b f_n par monotonie et majoration pour étudier sa convergence

L'objectif

Étudier la régularité et le sens de variation d'une fonction définie par une intégrale F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t ou analyser la monotonie et la limite d'une suite In=∫abfn(t)dtI_n=\int_a^b f_n(t)\mathrm{d}t.

Le principe

Si ff est continue sur un intervalle II contenant aa, alors F ⁣:x↦∫axf(t)dtF\colon x\mapsto\int_a^x f(t)\mathrm{d}t est de classe C1\mathcal{C}^1 sur II avec F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) ; pour une suite (In)=(∫abfn)(I_n)=\left(\int_a^b f_n\right), on étudie In+1−In=∫ab(fn+1−fn)I_{n+1}-I_n=\int_a^b (f_{n+1}-f_n) pour la monotonie, et on majore ∣In∣|I_n| par une quantité tendant vers 00 pour la convergence.

La méthode
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    Je distingue les cas : si j'étudie une fonction F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t, je vérifie la continuité de ff puis j'applique F′=fF'=f ; si j'étudie une suite In=∫abfn(t)dtI_n=\int_a^b f_n(t)\mathrm{d}t, je forme In+1−In=∫ab(fn+1(t)−fn(t))dtI_{n+1}-I_n=\int_a^b (f_{n+1}(t)-f_n(t))\mathrm{d}t.
    Voir
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    Pour FF : j'étudie le signe de F′=fF'=f pour en déduire les variations. Pour InI_n : j'étudie le signe de fn+1−fnf_{n+1}-f_n sur [a,b][a,b] pour obtenir la monotonie, puis je cherche une majoration 0≤In≤Mn0\leq I_n\leq M_n avec Mn→0M_n\to 0.
    Voir
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    Je conclus : variations de FF (ou expression explicite via primitive), monotonie de (In)(I_n), et éventuellement convergence par théorème d'encadrement ou par monotonie + minoration.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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