En effectuant un changement d'indice ou une disjonction des indices

Simplifier ou ramener à une formule classique une somme dont l'indice est décalé ou dont le domaine demande une disjonction.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S=\sum_{k=3}^{n}(k-2)$ pour $n\geq 3$ .

L'objectif

Simplifier ou ramener à une formule classique une somme dont l'indice est décalé ou dont le domaine demande une disjonction.

Le principe

Pour tout décalage $p\in\mathbb{Z}$ , $\sum_{k=a}^{b}u_k=\sum_{j=a+p}^{b+p}u_{j-p}$ ; de plus, si $I=I_1\sqcup I_2$ (partition), alors $\sum_{k\in I}u_k=\sum_{k\in I_1}u_k+\sum_{k\in I_2}u_k$ .

La méthode

1
Je choisis un changement d'indice $j=k+p$ (ou une disjonction $I=I_1\sqcup I_2$ ) adapté à la forme du terme général et aux bornes.
2
Je réécris la somme avec le nouvel indice ou sur chaque partie, en veillant à ajuster les bornes et en remplaçant $k$ par $j-p$ dans $u_k$ .
3
Je calcule la somme transformée par une formule classique et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $S=\sum_{k=3}^{n}(k-2)$ pour $n\geq 3$ .

Étape 1 —

Je choisis un changement d'indice

j=k+p

(ou une disjonction

I=I_1\sqcup I_2

) adapté à la forme du terme général et aux bornes.

Je pose le changement d'indice $j=k-2$ : quand $k=3$ , $j=1$ ; quand $k=n$ , $j=n-2$ .

Étape 2 —

Je réécris la somme avec le nouvel indice ou sur chaque partie, en veillant à ajuster les bornes et en remplaçant

k

par

j-p

dans

u_k

La somme devient $S=\sum_{j=1}^{n-2}j$ , qui est une somme arithmétique classique.

Étape 3 —

Je calcule la somme transformée par une formule classique et je conclus.

J'applique la formule : $S=\frac{(n-2)(n-1)}{2}$ . Vérification pour $n=3$ : $k=3$ donne $k-2=1=\frac{1\cdot 2}{2}$ , correct.

$S=\dfrac{(n-2)(n-1)}{2}$ .

Application guidée

Calculer $T=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ .

Application autonome 1

Calculer $R=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)^2$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ .

Application autonome 2

Calculer $W=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ .

Application autonome 3

Calculer $T=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\binom{n}{k}-\binom{n}{n-k}\right)$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

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