Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?

En effectuant un changement d'indice ou une disjonction des indices

L'objectif

Simplifier ou ramener à une formule classique une somme dont l'indice est décalé ou dont le domaine demande une disjonction.

Le principe

Pour tout décalage $p\in\mathbb{Z}$ , $\sum_{k=a}^{b}u_k=\sum_{j=a+p}^{b+p}u_{j-p}$ ; de plus, si $I=I_1\sqcup I_2$ (partition), alors $\sum_{k\in I}u_k=\sum_{k\in I_1}u_k+\sum_{k\in I_2}u_k$ .

La méthode

1
Je choisis un changement d'indice $j=k+p$ (ou une disjonction $I=I_1\sqcup I_2$ ) adapté à la forme du terme général et aux bornes.
2
Je réécris la somme avec le nouvel indice ou sur chaque partie, en veillant à ajuster les bornes et en remplaçant $k$ par $j-p$ dans $u_k$ .
3
Je calcule la somme transformée par une formule classique et je conclus.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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