Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En composant, sommant ou multipliant des fonctions continues usuelles

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=e^{x^2}+\ln(1+x^2)$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je décompose $f$ comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions usuelles et je précise le domaine de définition.
Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction ?Voir
2
Je rappelle que chacune des fonctions usuelles intervenant est continue sur son domaine, et je vérifie qu'il n'y a pas de division par zéro ni de valeur interdite sur $I$ .
3
Je conclus par composition/opérations que $f$ est continue sur $I$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=e^{x^2}+\ln(1+x^2)$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

1

Je vois $f$ comme somme de $g(x)=e^{x^2}=\exp\circ(x\mapsto x^2)$ et de $h(x)=\ln(1+x^2)=\ln\circ(x\mapsto 1+x^2)$ sur $\mathbb{R}$ .

2

$x\mapsto x^2$ et $x\mapsto 1+x^2$ sont polynomiales donc continues sur $\mathbb{R}$ ; $\exp$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ est continue sur $]0,+\infty[$ et $1+x^2>0$ pour tout $x$ .

3

Par composition et somme, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

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