En calculant $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ (convergence absolue requise si $X(\Omega)$ infini)

Calculer l'espérance d'une variable $Y=g(X)$ directement à partir de la loi de $X$ , sans déterminer celle de $Y$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X\sim\mathcal{U}([\![1,4]\!])$ . Calculer $E(X^2)$ par transfert.

L'objectif

Calculer l'espérance d'une variable $Y=g(X)$ directement à partir de la loi de $X$ , sans déterminer celle de $Y$ .

Le principe

Théorème de transfert : si $X$ est une variable aléatoire discrète et $g$ une fonction définie sur $X(\Omega)$ , alors $g(X)$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ est absolument convergente (automatique si $X(\Omega)$ est fini), et dans ce cas $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ .

La méthode

1
J'identifie la loi de $X$ (support $X(\Omega)$ et probabilités $P(X=x)$ ) et j'explicite la fonction $g$ à appliquer.
2
Si $X(\Omega)$ est infini, je vérifie la convergence absolue de $\sum_{x\in X(\Omega)} |g(x)|P(X=x)$ avant toute manipulation de la somme.
Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?Voir
3
Je calcule $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ en reconnaissant éventuellement une série usuelle (géométrique dérivée, exponentielle, binôme).
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

$X\sim\mathcal{U}([\![1,4]\!])$ . Calculer $E(X^2)$ par transfert.

Étape 1 —

J'identifie la loi de

X

(support

X(\Omega)

et probabilités

P(X=x)

) et j'explicite la fonction

g

à appliquer.

$X(\Omega)=\{1,2,3,4\}$ , $P(X=k)=\frac{1}{4}$ , et $g(x)=x^2$ .

Étape 2 —

X(\Omega)

est infini, je vérifie la convergence absolue de

\sum_{x\in X(\Omega)} |g(x)|P(X=x)

avant toute manipulation de la somme.

Support fini, donc la convergence est automatique.

Étape 3 —

Je calcule

E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)

en reconnaissant éventuellement une série usuelle (géométrique dérivée, exponentielle, binôme).

$E(X^2)=\sum_{k=1}^{4}k^2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1+4+9+16}{4}=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$ .

$E(X^2)=\frac{15}{2}$ .

Application guidée

$X\sim\mathcal{G}(p)$ avec $p\in ]0,1[$ . Calculer $E(e^{-X})$ par transfert.

Application autonome 1

$X\sim\mathcal{P}(\lambda)$ . Calculer $E(X^2)$ par transfert (sans utiliser la formule de Koenig-Huygens).

Application autonome 2

$X\sim\mathcal{B}(n,p)$ . Calculer $E(2^X)$ par transfert.

Application autonome 3

$X$ est uniforme sur $\{1,2,3\}$ . Calculer $E\!\left(\tfrac{1}{X}\right)$ par transfert.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant E(g(X))=∑x∈X(Ω)g(x)P(X=x)E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)E(g(X))=∑x∈X(Ω)​g(x)P(X=x) (convergence absolue requise si X(Ω)X(\Omega)X(Ω) infini)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ (convergence absolue requise si $X(\Omega)$ infini)