Comment étudier la dérivabilité… : En calculant la limite du taux… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ?

En calculant la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x\to x_0$

Déterminer si $f$ est dérivable en un point $x_0$ et, le cas échéant, calculer $f'(x_0)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $x_0=1$ et calculer $f'(1)$ .

L'objectif

Déterminer si $f$ est dérivable en un point $x_0$ et, le cas échéant, calculer $f'(x_0)$ .

Le principe

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $x_0$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie ; cette limite, notée $f'(x_0)$ , est alors le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est bien définie sur un intervalle contenant $x_0$ et j'écris le taux d'accroissement $\tau(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ pour $x\neq x_0$ .
2
Je calcule la limite de $\tau(x)$ lorsque $x\to x_0$ , éventuellement en simplifiant l'expression (factorisation, quantité conjuguée).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
3
Je conclus : si la limite existe et est finie, $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)$ vaut cette limite ; sinon $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $x_0=1$ et calculer $f'(1)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est bien définie sur un intervalle contenant

x_0

et j'écris le taux d'accroissement

\tau(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

pour

x\neq x_0

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ donc sur tout intervalle contenant $1$ : j'écris $\tau(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\neq 1$ .

Étape 2 —

Je calcule la limite de

\tau(x)

lorsque

x\to x_0

, éventuellement en simplifiant l'expression (factorisation, quantité conjuguée).

Je factorise : $\tau(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ , donc $\lim_{x\to 1}\tau(x)=2$ .

Étape 3 —

Je conclus : si la limite existe et est finie,

f

est dérivable en

x_0

f'(x_0)

vaut cette limite ; sinon

f

n'est pas dérivable en

x_0

La limite existe et vaut $2$ , donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=2$ .

$f$ est dérivable en $1$ avec $f'(1)=2$ .

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Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ?

En calculant la limite du taux d'accroissement f(x)−f(x0)x−x0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}x−x0​f(x)−f(x0​)​ lorsque x→x0x\to x_0x→x0​

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x\to x_0$