En identifiant le schéma de modélisation (succès/échec $\to$ Bernoulli ; $n$ répétitions indépendantes $\to$ binomiale ; rang du premier succès $\to$ géométrique ; nombre d'événements rares $\to$ Poisson ; équiprobabilité sur $[\![a,b]\!]$ $\to$ uniforme) pour invoquer la loi et ses paramètres

Identifier la loi d'une variable aléatoire par analyse du modèle, pour réutiliser directement ses paramètres, son espérance et sa variance connus.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance $10$ fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de faces obtenues. Reconnaître la loi de $X$ .

L'objectif

Identifier la loi d'une variable aléatoire par analyse du modèle, pour réutiliser directement ses paramètres, son espérance et sa variance connus.

Le principe

Les lois usuelles correspondent à des schémas types : $\mathcal{B}(p)$ modélise une épreuve à deux issues (succès de proba $p$ ) ; $\mathcal{B}(n,p)$ compte le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli ; $\mathcal{G}(p)$ donne le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes ; $\mathcal{P}(\lambda)$ modélise le nombre d'occurrences d'événements rares indépendants dans un intervalle (paramètre $\lambda>0$ ) ; $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ modélise l'équiprobabilité sur un intervalle entier.

La méthode

1
J'analyse l'expérience : nature des épreuves (à deux issues ou non), caractère répété ou non, indépendance, quantité mesurée (occurrence, comptage, rang, équiprobabilité).
2
Je compare ce schéma aux lois usuelles : $\mathcal{B}(p)$ (une épreuve succès/échec), $\mathcal{B}(n,p)$ ( $n$ répétitions indépendantes), $\mathcal{G}(p)$ (rang du premier succès), $\mathcal{P}(\lambda)$ (comptage d'événements rares), $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ (équiprobabilité sur $\{a,\dots,b\}$ ).
Comment montrer que des événements sont (mutuellement) indépendants ?Voir
3
J'énonce la loi reconnue avec ses paramètres précis et je réutilise le cas échéant son espérance, sa variance ou sa fonction de masse sans nouvelle démonstration.
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance $10$ fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de faces obtenues. Reconnaître la loi de $X$ .

Étape 1 —

J'analyse l'expérience : nature des épreuves (à deux issues ou non), caractère répété ou non, indépendance, quantité mesurée (occurrence, comptage, rang, équiprobabilité).

L'expérience est la répétition de $10$ lancers indépendants d'une pièce (épreuve à deux issues), la quantité mesurée est le nombre de succès (faces) sur ces répétitions.

Étape 2 —

Je compare ce schéma aux lois usuelles :

\mathcal{B}(p)

(une épreuve succès/échec),

\mathcal{B}(n,p)

(

n

répétitions indépendantes),

\mathcal{G}(p)

(rang du premier succès),

\mathcal{P}(\lambda)

(comptage d'événements rares),

\mathcal{U}([\![a,b]\!])

(équiprobabilité sur

\{a,\dots,b\}

Ce schéma correspond exactement à une loi binomiale : $n=10$ répétitions indépendantes, probabilité de succès $p=1/2$ .

Étape 3 —

J'énonce la loi reconnue avec ses paramètres précis et je réutilise le cas échéant son espérance, sa variance ou sa fonction de masse sans nouvelle démonstration.

Donc $X\sim\mathcal{B}(10,1/2)$ , avec $E(X)=np=5$ et $V(X)=np(1-p)=2{,}5$ .

$X\sim\mathcal{B}(10,1/2)$ , $E(X)=5$ , $V(X)=2{,}5$ .

Application guidée

On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$ . Soit $Y$ le rang d'apparition du premier $6$ . Reconnaître la loi de $Y$ .

Application autonome 1

Un standard téléphonique reçoit en moyenne $3$ appels par minute, les appels étant indépendants et rares à l'échelle de la seconde. Soit $N$ le nombre d'appels reçus en une minute. Reconnaître la loi de $N$ .

Application autonome 2

On tire au hasard un entier entre $1$ et $20$ (équiprobablement). Soit $X$ le nombre tiré. Reconnaître la loi de $X$ .

Application autonome 3

On tire avec remise des cartes dans un jeu de $32$ cartes, jusqu'à obtenir un as. Soit $X$ le rang d'apparition du premier as. Reconnaître la loi de $X$ .

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