Comment déterminer le noyau… : En résolvant le système homogène AX=0… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment déterminer le noyau d'une matrice ?

En résolvant le système homogène $AX=0$ par pivot et en exprimant $\mathrm{Ker}(A)$ comme $\mathrm{Vect}$ des vecteurs paramètres

Déterminer une base et la dimension de $\mathrm{Ker}(A)$ pour une matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\end{pmatrix}$ .

L'objectif

Déterminer une base et la dimension de $\mathrm{Ker}(A)$ pour une matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ .

Le principe

Pour $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ , $\mathrm{Ker}(A)$ est l'ensemble des solutions du système homogène $AX=0$ ; en échelonnant $A$ , on exprime les inconnues principales en fonction des inconnues libres, et on obtient une écriture $X=t_1 v_1+\dots+t_k v_k$ qui donne $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_k)$ , avec $k=n-\mathrm{rg}(A)$ paramètres libres.

La méthode

1
J'écris le système $AX=0$ sous forme de système linéaire homogène, et je l'échelonne par la méthode du pivot de Gauss.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
2
J'identifie les inconnues principales (colonnes pivots) et les inconnues libres (colonnes sans pivot), puis je pose ces dernières comme paramètres $t_1,\dots,t_k$ et j'exprime les inconnues principales en fonction des $t_i$ .
3
Je factorise l'écriture de $X$ pour faire apparaître $X=t_1 v_1+\dots+t_k v_k$ et je conclus $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_k)$ , famille libre donnant une base de dimension $k$ .
Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

J'écris le système

AX=0

sous forme de système linéaire homogène, et je l'échelonne par la méthode du pivot de Gauss.

$AX=0$ s'écrit $\begin{cases}x+2y+3z=0\\ 2x+4y+6z=0\end{cases}$ ; $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $0=0$ , donc le système se réduit à $x+2y+3z=0$ .

Étape 2 —

J'identifie les inconnues principales (colonnes pivots) et les inconnues libres (colonnes sans pivot), puis je pose ces dernières comme paramètres

t_1,\dots,t_k

et j'exprime les inconnues principales en fonction des

t_i

L'inconnue principale est $x$ (colonne 1 pivot) ; $y$ et $z$ sont libres. Je pose $y=s$ et $z=t$ , alors $x=-2s-3t$ .

Étape 3 —

Je factorise l'écriture de

X

pour faire apparaître

X=t_1 v_1+\dots+t_k v_k

et je conclus

\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_k)

, famille libre donnant une base de dimension

k

$X=(-2s-3t,s,t)=s(-2,1,0)+t(-3,0,1)$ , donc $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}((-2,1,0),(-3,0,1))$ : base de 2 vecteurs libres (non colinéaires), $\dim\mathrm{Ker}(A)=2$ .

$\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}((-2,1,0),(-3,0,1))$ , $\dim\mathrm{Ker}(A)=2$ .

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Comment déterminer le noyau d'une matrice ?

En résolvant le système homogène AX=0AX=0AX=0 par pivot et en exprimant Ker(A)\mathrm{Ker}(A)Ker(A) comme Vect\mathrm{Vect}Vect des vecteurs paramètres

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système homogène $AX=0$ par pivot et en exprimant $\mathrm{Ker}(A)$ comme $\mathrm{Vect}$ des vecteurs paramètres