Comment déterminer le noyau d'une matrice ?

En résolvant le système homogène $AX=0$ par pivot et en exprimant $\mathrm{Ker}(A)$ comme $\mathrm{Vect}$ des vecteurs paramètres

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\end{pmatrix}$ .

La méthode

1
J'écris le système $AX=0$ sous forme de système linéaire homogène, et je l'échelonne par la méthode du pivot de Gauss.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
2
J'identifie les inconnues principales (colonnes pivots) et les inconnues libres (colonnes sans pivot), puis je pose ces dernières comme paramètres $t_1,\dots,t_k$ et j'exprime les inconnues principales en fonction des $t_i$ .
3
Je factorise l'écriture de $X$ pour faire apparaître $X=t_1 v_1+\dots+t_k v_k$ et je conclus $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_k)$ , famille libre donnant une base de dimension $k$ .
Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer $\mathrm{Ker}(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\end{pmatrix}$ .

1

$AX=0$ s'écrit $\begin{cases}x+2y+3z=0\\ 2x+4y+6z=0\end{cases}$ ; $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $0=0$ , donc le système se réduit à $x+2y+3z=0$ .

2

L'inconnue principale est $x$ (colonne 1 pivot) ; $y$ et $z$ sont libres. Je pose $y=s$ et $z=t$ , alors $x=-2s-3t$ .

3

$X=(-2s-3t,s,t)=s(-2,1,0)+t(-3,0,1)$ , donc $\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}((-2,1,0),(-3,0,1))$ : base de 2 vecteurs libres (non colinéaires), $\dim\mathrm{Ker}(A)=2$ .

$\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}((-2,1,0),(-3,0,1))$ , $\dim\mathrm{Ker}(A)=2$ .

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Comment déterminer le noyau d'une matrice ?

En résolvant le système homogène AX=0AX=0AX=0 par pivot et en exprimant Ker(A)\mathrm{Ker}(A)Ker(A) comme Vect\mathrm{Vect}Vect des vecteurs paramètres

Pour comprendre, passons aux exercices.

En résolvant le système homogène $AX=0$ par pivot et en exprimant $\mathrm{Ker}(A)$ comme $\mathrm{Vect}$ des vecteurs paramètres