Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ? | MetMat

Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ?

En listant $X(\Omega)$ et en calculant chaque $P(X=x)$ via un SCE ou un dénombrement

Donner la loi d'une variable aléatoire discrète en explicitant son support $X(\Omega)$ et les probabilités $P(X=x)$ pour chaque $x\in X(\Omega)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $X$ la somme des deux dés. Déterminer la loi de $X$ .

L'objectif

Donner la loi d'une variable aléatoire discrète en explicitant son support $X(\Omega)$ et les probabilités $P(X=x)$ pour chaque $x\in X(\Omega)$ .

Le principe

Toute variable aléatoire discrète $X$ est caractérisée par son support $X(\Omega)$ (ensemble fini ou dénombrable) et la donnée des probabilités $P(X=x)$ pour $x\in X(\Omega)$ : chaque $P(X=x)$ peut se calculer via un système complet d'événements $(A_i)$ en écrivant $P(X=x)=\sum_i P(A_i)P_{A_i}(X=x)$ ou par un dénombrement direct en cas d'équiprobabilité.

La méthode

1
Je décris précisément l'expérience aléatoire et j'identifie l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs que peut prendre $X$ .
2
Pour chaque $x\in X(\Omega)$ , je calcule $P(X=x)$ soit par dénombrement direct (cas équiprobable : $P(X=x)=\frac{|\{X=x\}|}{|\Omega|}$ ), soit en utilisant un SCE adapté.
Comment calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité ?Voir
3
Je présente la loi sous forme de tableau ou de formule, et je précise le cas échéant la loi usuelle reconnue.
Comment reconnaître une loi usuelle dans une modélisation ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $X$ la somme des deux dés. Déterminer la loi de $X$ .

Étape 1 —

Je décris précisément l'expérience aléatoire et j'identifie l'ensemble

X(\Omega)

des valeurs que peut prendre

X

$X(\Omega)=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ : la somme de deux dés à six faces est comprise entre $1+1=2$ et $6+6=12$ .

Étape 2 —

Pour chaque

x\in X(\Omega)

, je calcule

P(X=x)

soit par dénombrement direct (cas équiprobable :

P(X=x)=\frac{|\{X=x\}|}{|\Omega|}

), soit en utilisant un SCE adapté.

L'univers $\Omega=[\![1,6]\!]^2$ est équiprobable avec $|\Omega|=36$ . En dénombrant les couples $(i,j)$ tels que $i+j=k$ , on obtient $P(X=k)=\frac{6-|k-7|}{36}$ .

Étape 3 —

Je présente la loi sous forme de tableau ou de formule, et je précise le cas échéant la loi usuelle reconnue.

La loi de $X$ est donnée par : $P(X=2)=P(X=12)=\frac{1}{36}$ , $P(X=3)=P(X=11)=\frac{2}{36}$ , $P(X=4)=P(X=10)=\frac{3}{36}$ , $P(X=5)=P(X=9)=\frac{4}{36}$ , $P(X=6)=P(X=8)=\frac{5}{36}$ , $P(X=7)=\frac{6}{36}$ .

Loi de $X$ : $P(X=k)=\dfrac{6-|k-7|}{36}$ pour $k\in\{2,\dots,12\}$ .

Application guidée

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules noires. On tire simultanément $2$ boules. On note $X$ le nombre de boules rouges tirées. Donner la loi de $X$ .

Application autonome 1

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile pour la première fois. Soit $X$ le rang d'apparition du premier pile. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 2

Une urne contient $4$ boules numérotées $1,2,3,4$ . On tire successivement et sans remise deux boules. On note $X$ le plus grand numéro tiré. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 3

On lance trois pièces équilibrées. On note $X$ le nombre de piles obtenus. Déterminer la loi de $X$ .

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En listant X(Ω)X(\Omega)X(Ω) et en calculant chaque P(X=x)P(X=x)P(X=x) via un SCE ou un dénombrement

Pour comprendre, fais des exercices !

En listant $X(\Omega)$ et en calculant chaque $P(X=x)$ via un SCE ou un dénombrement