Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ?

En listant $X(\Omega)$ et en calculant chaque $P(X=x)$ via un SCE ou un dénombrement

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $X$ la somme des deux dés. Déterminer la loi de $X$ .

La méthode

1
Je décris précisément l'expérience aléatoire et j'identifie l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs que peut prendre $X$ .
2
Pour chaque $x\in X(\Omega)$ , je calcule $P(X=x)$ soit par dénombrement direct (cas équiprobable : $P(X=x)=\frac{|\{X=x\}|}{|\Omega|}$ ), soit en utilisant un SCE adapté.
Comment calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité ?Voir
3
Je présente la loi sous forme de tableau ou de formule, et je précise le cas échéant la loi usuelle reconnue.
Comment reconnaître une loi usuelle dans une modélisation ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $X$ la somme des deux dés. Déterminer la loi de $X$ .

1

$X(\Omega)=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ : la somme de deux dés à six faces est comprise entre $1+1=2$ et $6+6=12$ .

2

L'univers $\Omega=[\![1,6]\!]^2$ est équiprobable avec $|\Omega|=36$ . En dénombrant les couples $(i,j)$ tels que $i+j=k$ , on obtient $P(X=k)=\frac{6-|k-7|}{36}$ .

3

La loi de $X$ est donnée par : $P(X=2)=P(X=12)=\frac{1}{36}$ , $P(X=3)=P(X=11)=\frac{2}{36}$ , $P(X=4)=P(X=10)=\frac{3}{36}$ , $P(X=5)=P(X=9)=\frac{4}{36}$ , $P(X=6)=P(X=8)=\frac{5}{36}$ , $P(X=7)=\frac{6}{36}$ .

Loi de $X$ : $P(X=k)=\dfrac{6-|k-7|}{36}$ pour $k\in\{2,\dots,12\}$ .

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En listant X(Ω)X(\Omega)X(Ω) et en calculant chaque P(X=x)P(X=x)P(X=x) via un SCE ou un dénombrement

Pour comprendre, passons aux exercices.

En listant $X(\Omega)$ et en calculant chaque $P(X=x)$ via un SCE ou un dénombrement