Comment démontrer une implication $H \Rightarrow P$ ?

En supposant $H$ vraie et en déduisant $P$ par enchaînement logique

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , si $x \geq 2$ alors $x^2 \geq 4$ .

La méthode

1
Je suppose que l'hypothèse $H$ est vérifiée et j'explicite toutes les données qu'elle fournit.
2
J'enchaîne des déductions (définitions, théorèmes dont je vérifie les hypothèses, calculs algébriques) pour transformer $H$ en informations nouvelles.
3
Je conclus en constatant que les déductions obtenues entraînent exactement la proposition $P$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , si $x \geq 2$ alors $x^2 \geq 4$ .

1

Je suppose $x \geq 2$ ; en particulier $x > 0$ , donc $x$ est positif.

2

Puisque la fonction $t \mapsto t^2$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$ , de $x \geq 2$ je déduis $x^2 \geq 2^2 = 4$ .

3

J'ai bien obtenu $x^2 \geq 4$ , ce qui conclut l'implication.

$\forall x \in \mathbb{R}, \;x \geq 2 \Rightarrow x^2 \geq 4$ .

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