Comment dénombrer à l'aide de factorielles, arrangements et coefficients binomiaux ?

En identifiant la nature du tirage (avec/sans ordre, avec/sans répétition) pour choisir la formule adéquate

L'objectif

Compter le nombre de configurations d'un tirage de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments selon que l'ordre compte et que les répétitions sont autorisées.

Le principe

Pour choisir $p$ éléments parmi $n$ : sans répétition et avec ordre, il y a $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$ arrangements ; sans répétition et sans ordre, il y a $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ combinaisons ; avec répétition et avec ordre, il y a $n^p$ $p$ -listes ; le nombre de permutations de $n$ éléments deux à deux distincts est $n!$ , et celui d'un mot avec répétitions est $\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}$ .

La méthode

1
Je précise l'univers : je décris l'ensemble dans lequel on tire (de cardinal $n$ ) et le nombre $p$ d'éléments à choisir.
2
Je détermine deux choses : l'ordre du tirage est-il pris en compte (mot vs ensemble) ? les répétitions sont-elles autorisées (tirage avec remise ou lettres répétées vs sans remise) ?
3
J'applique la formule correspondante : $n^p$ (avec ordre, avec répétition), $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$ (avec ordre, sans répétition), $\binom{n}{p}$ (sans ordre, sans répétition), ou $\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}$ pour un anagramme à lettres répétées.
Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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