Comment calculer le rang d'une… : En appliquant le pivot de Gauss pour… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer le rang d'une famille de vecteurs ou d'une matrice ?

En appliquant le pivot de Gauss pour dénombrer les pivots non nuls

Calculer le rang d'une matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ (ou d'une famille de vecteurs) par la méthode du pivot de Gauss.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix}$ .

L'objectif

Calculer le rang d'une matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ (ou d'une famille de vecteurs) par la méthode du pivot de Gauss.

Le principe

Le rang d'une matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est la dimension du sous-espace engendré par ses colonnes ; il est invariant par opérations élémentaires sur les lignes, et se lit comme le nombre de pivots non nuls d'une forme échelonnée de $A$ .

La méthode

1
Je dispose la famille de vecteurs en colonnes d'une matrice $A$ (si ce n'est pas déjà une matrice), et je formule le problème comme un calcul de rang de $A$ .
2
J'applique la méthode du pivot de Gauss par opérations élémentaires sur les lignes pour amener $A$ sous forme échelonnée.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je compte le nombre de pivots non nuls dans la forme échelonnée : ce nombre est le rang de $A$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je dispose la famille de vecteurs en colonnes d'une matrice

A

(si ce n'est pas déjà une matrice), et je formule le problème comme un calcul de rang de

A

$A$ est déjà donnée sous forme matricielle, on cherche $\mathrm{rg}(A)$ .

Étape 2 —

J'applique la méthode du pivot de Gauss par opérations élémentaires sur les lignes pour amener

A

sous forme échelonnée.

$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent $\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ , puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ donne $\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je compte le nombre de pivots non nuls dans la forme échelonnée : ce nombre est le rang de

A

Il y a 2 pivots non nuls (en colonnes 1 et 3), donc $\mathrm{rg}(A)=2$ .

$\mathrm{rg}(A)=2$ .

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