Comment calculer le rang d'une famille de vecteurs ou d'une matrice ?

En utilisant $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ lorsque cela facilite le calcul

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,4}(\mathbb{R})$ par transposition.

La méthode

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J'observe la matrice $A$ et je compare le travail à effectuer sur $A$ (pivot sur les lignes de $A$ , engendré par les colonnes) à celui sur ${}^t\!A$ (pivot sur les lignes de ${}^t\!A$ , c'est-à-dire en travaillant via les colonnes de $A$ ).
2
Si ${}^t\!A$ est plus simple (par exemple si $A$ comporte beaucoup plus de colonnes que de lignes ou présente une structure agréable en colonnes), je calcule $\mathrm{rg}({}^t\!A)$ par pivot de Gauss.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
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Je conclus par l'égalité $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,4}(\mathbb{R})$ par transposition.

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$A$ a plus de colonnes que de lignes, donc ${}^t\!A\in\mathcal{M}_{4,2}(\mathbb{R})$ n'a que 2 colonnes : le pivot sur ${}^t\!A$ ne produira au plus que 2 pivots.

2

${}^t\!A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\\ 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ . Les deux colonnes sont non colinéaires (la deuxième a un $0$ où la première a un $1$ ), donc $\mathrm{rg}({}^t\!A)=2$ .

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Par invariance par transposition, $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)=2$ .

$\mathrm{rg}(A)=2$ .

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Comment calculer le rang d'une famille de vecteurs ou d'une matrice ?

En utilisant rg(A)=rg(t ⁣A)\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)rg(A)=rg(tA) lorsque cela facilite le calcul

Pour comprendre, passons aux exercices.

En utilisant $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ lorsque cela facilite le calcul