Comment calculer le rang d'une… : En utilisant rg(A)=rg( ^t A) lorsque… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer le rang d'une famille de vecteurs ou d'une matrice ?

En utilisant $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ lorsque cela facilite le calcul

Calculer le rang d'une matrice $A$ en travaillant sur sa transposée ${}^t\!A$ lorsque celle-ci se prête mieux au pivot de Gauss.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,4}(\mathbb{R})$ par transposition.

L'objectif

Calculer le rang d'une matrice $A$ en travaillant sur sa transposée ${}^t\!A$ lorsque celle-ci se prête mieux au pivot de Gauss.

Le principe

Pour toute matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ , on a $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ : autrement dit, le rang des lignes est égal au rang des colonnes, ce qui permet de choisir l'orientation la plus favorable pour le pivot.

La méthode

1
J'observe la matrice $A$ et je compare le travail à effectuer sur $A$ (pivot sur les lignes de $A$ , engendré par les colonnes) à celui sur ${}^t\!A$ (pivot sur les lignes de ${}^t\!A$ , c'est-à-dire en travaillant via les colonnes de $A$ ).
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Si ${}^t\!A$ est plus simple (par exemple si $A$ comporte beaucoup plus de colonnes que de lignes ou présente une structure agréable en colonnes), je calcule $\mathrm{rg}({}^t\!A)$ par pivot de Gauss.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je conclus par l'égalité $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer le rang de $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,4}(\mathbb{R})$ par transposition.

Étape 1 —

J'observe la matrice

A

et je compare le travail à effectuer sur

A

(pivot sur les lignes de

A

, engendré par les colonnes) à celui sur

{}^t\!A

(pivot sur les lignes de

{}^t\!A

, c'est-à-dire en travaillant via les colonnes de

A

$A$ a plus de colonnes que de lignes, donc ${}^t\!A\in\mathcal{M}_{4,2}(\mathbb{R})$ n'a que 2 colonnes : le pivot sur ${}^t\!A$ ne produira au plus que 2 pivots.

Étape 2 —

{}^t\!A

est plus simple (par exemple si

A

comporte beaucoup plus de colonnes que de lignes ou présente une structure agréable en colonnes), je calcule

\mathrm{rg}({}^t\!A)

par pivot de Gauss.

${}^t\!A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\\ 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ . Les deux colonnes sont non colinéaires (la deuxième a un $0$ où la première a un $1$ ), donc $\mathrm{rg}({}^t\!A)=2$ .

Étape 3 —

Je conclus par l'égalité

\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)

Par invariance par transposition, $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)=2$ .

$\mathrm{rg}(A)=2$ .

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Comment calculer le rang d'une famille de vecteurs ou d'une matrice ?

En utilisant rg(A)=rg(t ⁣A)\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)rg(A)=rg(tA) lorsque cela facilite le calcul

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ lorsque cela facilite le calcul